Упростить выражение cos^4 (x)

Предмет: Математика

Раздел: Тригонометрия

Задание

Необходимо упростить выражение \(\cos^4(x)\) (косинус в четвертой степени от \(x\)).

Решение

\(\cos^4(x)\) можно трактовать как \((\cos(x))^4\). Чтобы упростить это выражение, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Например, есть полезное тригонометрическое тождество для косинуса в квадрате:

\[\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\]

Так как нас интересует \(\cos^4(x)\), давайте представим это выражение через косинус двойного угла с применением данного тождества.

\[\cos^4(x) = (\cos^2(x))^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2\]

Теперь раскроем скобки:

\[\cos^4(x) = \frac{(1 + \cos(2x))^2}{4}\]

Раскроем квадрат в числителе:

\[\cos^4(x) = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\]

Мы можем упростить это выражение дальше, если нужно, но на данном этапе оно достаточно сведено к более простому виду.

Ответ

\[\cos^4(x) = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\]

Таким образом, мы свели выражение \(\cos^4(x)\) к тождеству через косинусы двойных углов и квадраты косинусов.