Трансформация тригонометрических выражений

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (трансформация тригонометрических выражений)

Нам дано выражение:

-2\ln(\csc(y/2) + \cot(y/2))

Давайте упростим это выражение, используя свойства тригонометрических функций и логарифмов.

Шаг 1. Вспомним определения тригонометрических функций

Тригонометрические функции \csc(x) и \cot(x) определяются следующим образом:

• \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}
• \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Подставим эти определения в данное выражение:

-2\ln\left(\frac{1}{\sin(y/2)} + \frac{\cos(y/2)}{\sin(y/2)}\right)

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель в скобках равен \sin(y/2). Преобразуем выражение:

-2\ln\left(\frac{1 + \cos(y/2)}{\sin(y/2)}\right)

Шаг 3. Свойство логарифма

Используем свойство логарифма: \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b). Тогда:

-2\ln\left(\frac{1 + \cos(y/2)}{\sin(y/2)}\right) = -2\left[\ln(1 + \cos(y/2)) - \ln(\sin(y/2))\right]

Раскроем скобки:

-2\ln(1 + \cos(y/2)) + 2\ln(\sin(y/2))

Итоговое выражение:

Таким образом, упрощенное выражение:

-2\ln(1 + \cos(y/2)) + 2\ln(\sin(y/2))