Решить уравнение sin(3x)+sin(5x)-sin(9x)=0

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Тригонометрия".

Давайте решим уравнение \( \sin(3x) + \sin(5x) - \sin(9x) = 0 \).

Шаг 1: Использование тригонометрических тождеств.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся тригонометрическими тождествами для суммы синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right). \] Применим это тождество к первым двум членам: \( \sin(3x) + \sin(5x) \).

Упростим выражение: \[ \sin(3x) + \sin(5x) = 2 \sin(4x) \cos(-x). \] Так как \(\cos(-x) = \cos(x)\), получаем: \[ \sin(3x) + \sin(5x) = 2 \sin(4x) \cos(x). \] Таким образом, уравнение становится: \[ 2 \sin(4x) \cos(x) - \sin(9x) = 0. \]

Шаг 2: Перестановка членов уравнения и вынесение общего множителя.

Сгруппируем члены: \[ 2 \sin(4x) \cos(x) = \sin(9x). \] Разделим обе части уравнения на 2 (при условии, что 2 ≠ 0): \[ \sin(4x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(9x). \]

Шаг 3: Представление \(\sin(9x)\) через тригонометрические функции углов кратных \(x\).

Используем тождество \(\sin(9x) = 3 \sin(3x) - 4 \sin^3(3x)\): Подставим \(\sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x)\) (где \(\sin(3x) \)). \[ \sin(9x) = 3 (3 \sin(x) - 4 \sin^3(x)) - 4 (3 \sin(x) - 4 \sin^3(x))^3 = 0. \] На этом этапе разрешение будет сложным, поэтому просто используем выражение \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \): Таким образом, выразим: \[ \cos^2(x) (2 \sin(4x)) = 0, \text{ т.е. } 4 \cos^2(x) = 0 \] \(\cos(x) = 0\), \(\sin(4) = 0\). В уравнении \(\cos = 0\), теперь выразим через все числовые \: cos (x= \frac{\pi}{2}\). Теперь оставим первое: \[ \sin(9 x = \cos^{-1} = \frac{n\pi}{4} = k, n\in R. \]