Решить уравнение на промежутке

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра и Тригонометрия (уравнения с показателями и тригонометрическими функциями)

Задание:
Решить уравнение:

15^{\cos x} = 3^{\cos x} \cdot 5^{\sin x}

на промежутке (5\pi, \frac{13\pi}{2})

Шаг 1: Преобразуем уравнение

У нас:

15^{\cos x} = 3^{\cos x} \cdot 5^{\sin x}

Разложим 15 как произведение простых множителей:

15 = 3 \cdot 5

Тогда:

(3 \cdot 5)^{\cos x} = 3^{\cos x} \cdot 5^{\sin x}

Теперь используем свойство степеней:

3^{\cos x} \cdot 5^{\cos x} = 3^{\cos x} \cdot 5^{\sin x}

Теперь обе части содержат множитель 3^{\cos x}, можно сократить:

5^{\cos x} = 5^{\sin x}

Шаг 2: Упростим уравнение

5^{\cos x} = 5^{\sin x}

Так как функция 5^x строго возрастающая, то:

\cos x = \sin x

Шаг 3: Решим уравнение \cos x = \sin x

Разделим обе части на \cos x (если \cos x \ne 0):

\frac{\sin x}{\cos x} = 1
\tan x = 1

Общее решение уравнения \tan x = 1:

x = \frac{\pi}{4} + \pi n, где n \in \mathbb{Z}

Шаг 4: Найдём корни на промежутке (5\pi, \frac{13\pi}{2})

Нам нужно найти такие значения n, при которых:

5\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{13\pi}{2}

Умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от дробей:

20\pi < \pi + 4\pi n < 26\pi

Вычтем \pi из всех частей:

19\pi < 4\pi n < 25\pi

Разделим на 4\pi:

\frac{19}{4} < n < \frac{25}{4}

\frac{19}{4} = 4.75, \frac{25}{4} = 6.25

Целые значения n на этом интервале: n = 5 и n = 6

Шаг 5: Подставим значения n и найдём x

• При n = 5:
  x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{20\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}

• При n = 6:
  x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{25\pi}{4}

Ответ:

Корни уравнения на промежутке (5\pi, \frac{13\pi}{2}):

x = \frac{21\pi}{4} и x = \frac{25\pi}{4}