Решение тригонометрической уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Тригонометрия

Дана тригонометрическая уравнение:
\cos^2(5x) + \cos(5x) = 2 - \sin^2(5x)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество:
   \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.
   Отсюда \sin^2(5x) = 1 - \cos^2(5x).

   Подставляем это в правую часть уравнения:
   \cos^2(5x) + \cos(5x) = 2 - (1 - \cos^2(5x)).

2. Раскрываем скобки и упрощаем:
   \cos^2(5x) + \cos(5x) = 2 - 1 + \cos^2(5x),
   \cos^2(5x) + \cos(5x) = 1 + \cos^2(5x).

3. Убираем одинаковые слагаемые \cos^2(5x) с обеих сторон:
   \cos(5x) = 1.

4. Решаем уравнение \cos(5x) = 1:
   Косинус равен 1, когда угол равен 2\pi n, где n — целое число.
   То есть:
   5x = 2\pi n,
   x = \frac{2\pi n}{5}, где n \in \mathbb{Z}.

Ответ:

x = \frac{2\pi n}{5}, \; n \in \mathbb{Z}.