Представить в тригонометрической и формах следующие комплексные числа

Задание относится к разделу Комплексные числа из курса математики, а именно к теме Тригонометрическая и алгебраическая формы записи комплексных чисел.

Задание:

Представить комплексное число под номером \(11\) в тригонометрической и алгебраической формах.

Записанное число выглядит как:

\[ z = -3 \left( \cos \frac{\pi}{5} - i \sin \frac{\pi}{5} \right) \]

Это комплексное число, записанное в тригонометрической форме, имеет вид:

\[ z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right), \]

где:

• \(r\) — модуль числа (он равен 3, но со знаком «-», который учтён отдельно),
• \(\varphi\) — аргумент числа (в данном случае \(\varphi = -\frac{\pi}{5}\)).

Преобразование тригонометрической формы в алгебраическую:

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

\[ z = a + bi, \]

где \(a\) — действительная часть, \(b\) — мнимая часть числа.

В данном случае:

\[ z = -3 \left( \cos \frac{\pi}{5} - i \sin \frac{\pi}{5} \right), \]

где \(r = -3\), \(\varphi = \frac{\pi}{5}\).

Теперь найдём значения для \(\cos \frac{\pi}{5}\) и \(\sin \frac{\pi}{5}\), используя известные значения тригонометрических функций:

\[ \cos \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}, \quad \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}. \]

Подставляем эти значения в число \(z\):

\[ z = -3 \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - i \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \right). \]

Теперь нужно умножить на -3:

\[ z = -3 \times \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + 3i \times \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}. \]

Ответ:

В тригонометрической форме:

\[ z = -3 \left( \cos \frac{\pi}{5} - i \sin \frac{\pi}{5} \right). \]

В алгебраической форме:

\[ z = -\frac{3(\sqrt{5} + 1)}{4} + i \frac{3\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}. \]