Представить в тригонометрической и формах следующие комплексные числа

Задание относится к разделу Комплексные числа из курса математики, а именно к теме Тригонометрическая и алгебраическая формы записи комплексных чисел.

Задание:

Представить комплексное число под номером $\text{(}11\text{)}$ в тригонометрической и алгебраической формах.

Записанное число выглядит как:

$\text{[}z=-3(\cos \frac{\pi }{5}-i\sin \frac{\pi }{5})\text{]}$

Это комплексное число, записанное в тригонометрической форме, имеет вид:

$\text{[}z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),\text{]}$

где:

• $\text{(}r\text{)}$ — модуль числа (он равен 3, но со знаком «-», который учтён отдельно),
• $\text{(}\phi \text{)}$ — аргумент числа (в данном случае $\text{(}\phi =-\frac{\pi }{5}\text{)}$).

Преобразование тригонометрической формы в алгебраическую:

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

$\text{[}z=a+bi,\text{]}$

где $\text{(}a\text{)}$ — действительная часть, $\text{(}b\text{)}$ — мнимая часть числа.

В данном случае:

$\text{[}z=-3(\cos \frac{\pi }{5}-i\sin \frac{\pi }{5}),\text{]}$

где $\text{(}r=-3\text{)}$, $\text{(}\phi =\frac{\pi }{5}\text{)}$.

Теперь найдём значения для $\text{(}\cos \frac{\pi }{5}\text{)}$ и $\text{(}\sin \frac{\pi }{5}\text{)}$, используя известные значения тригонометрических функций:

$\text{[}\cos \frac{\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}+1}{4},\sin \frac{\pi }{5}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.\text{]}$

Подставляем эти значения в число $\text{(}z\text{)}$:

$\text{[}z=-3(\frac{\sqrt{5}+1}{4}-i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}).\text{]}$

Теперь нужно умножить на $-3$:

$\text{[}z=-3\times \frac{\sqrt{5}+1}{4}+3i\times \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.\text{]}$

Ответ:

В тригонометрической форме:

$\text{[}z=-3(\cos \frac{\pi }{5}-i\sin \frac{\pi }{5}).\text{]}$

В алгебраической форме:

$\text{[}z=-\frac{3(\sqrt{5}+1)}{4}+i\frac{3\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.\text{]}$