Неравенство, содержащее котангенс

Мы имеем неравенство: \( \cot x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Определим предмет:

Задание связано с тригонометрией. Это часть курса математики, раздела "Тригонометрические функции и их свойства". В частности, рассматривается неравенство, содержащее котангенс.

Разбор:

Для начала преобразуем выражение котангенса через тангенс: \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} \]

Теперь перепишем неравенство: \[ \frac{1}{\tan x} > \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Для решения этого неравенства возьмем обратные величины (это возможно, так как тангенс положителен, а значит и его обратная величина положительна): \[ \tan x < \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

Теперь перейдём к анализу. Из таблицы известных значений тангенса знаем, что: \[ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \]

То есть решение неравенства \( \tan x < \sqrt{3} \) находится в диапазоне от \( -\infty \) до \( \frac{\pi}{3} \), потому что для значений \( x \geq \frac{\pi}{3} \) тангенс станет больше \( \sqrt{3} \). Но важно учитывать область определения котангенса — она периодична с периодом \( \pi \). Значит, решение будет повторяться с этим шагом.

Запишем итоговые интервалы решений в удобной форме: \[ x \in \left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

Решение неравенства — это интервал: \[ x \in \left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \]