Найти все корни на промежутке

Предмет: Математика
Раздел: Тригонометрия, уравнения

Задание:

Решить уравнение:

15 \cdot \cos{x} = 3 \cdot \cos{x} \cdot (5 \cdot \sin{x})

Найти все корни на промежутке:

\left[5\pi, \frac{13\pi}{2} \right]

Шаг 1: Упростим уравнение

Дано уравнение:

15 \cdot \cos{x} = 3 \cdot \cos{x} \cdot (5 \cdot \sin{x})

Упростим правую часть:

3 \cdot \cos{x} \cdot 5 \cdot \sin{x} = 15 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}

Теперь уравнение принимает вид:

15 \cdot \cos{x} = 15 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}

Разделим обе части на 15 (если 15 ≠ 0):

\cos{x} = \cos{x} \cdot \sin{x}

Теперь перенесем всё в одну часть:

\cos{x} - \cos{x} \cdot \sin{x} = 0

Вынесем \cos{x} за скобку:

\cos{x} \cdot (1 - \sin{x}) = 0

Шаг 2: Найдём все решения уравнения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \cos{x} = 0
2. 1 - \sin{x} = 0 \Rightarrow \sin{x} = 1

Шаг 3: Найдём значения x на промежутке \left[5\pi, \frac{13\pi}{2} \right]

1. Решим \cos{x} = 0

\cos{x} = 0 при:

x = \frac{\pi}{2} + \pi n, где n \in \mathbb{Z}

Подставим значения n, чтобы x \in [5\pi, \frac{13\pi}{2}]

• n = 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}
• n = 4 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}
• n = 5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}

Проверим границы:

• 5\pi = \frac{10\pi}{2}
• \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi

Соответственно, значения \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2} входят в интервал.

2. Решим \sin{x} = 1

\sin{x} = 1 при:

x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, где n \in \mathbb{Z}

Подставим значения n, чтобы попадать в интервал:

• n = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}
• n = 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2}

Оба значения входят в указанный интервал.

Шаг 4: Соберём все корни

Корни на промежутке \left[5\pi, \frac{13\pi}{2} \right]:

• Из \cos{x} = 0:
  x = \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}

• Из \sin{x} = 1:
  x = \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}

Объединяя и убирая повторы:

Ответ:

x = \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}

Если нужно, могу дать и десятичные приближения для этих значений.