Найти множество значений функции

Определение: Это упражнение из предмета математика, раздел тригонометрия, тема нахождение множества значений тригонометрической функции.

Задана функция: \[ y = 4\sin^2x + 4\sin x - 1 \]

Нужно найти множество значений этой функции, то есть все возможные значения переменной \( y \), при любой \( x \).

Шаг 1. Введем замену переменной.

Для упрощения решения сделаем замену:

Обозначим: \[ t = \sin x \]

Заметим, что \( t \) (так как это синус) принимает значения на отрезке: \[ t \in [-1, 1] \]

Перепишем функцию с новой переменной: \[ y = 4t^2 + 4t - 1 \]

Теперь нам нужно найти значения функции \( y = 4t^2 + 4t - 1 \) при \( t \in [-1; 1] \).

Шаг 2. Найдем минимум и максимум функции.

Исследуем квадратичную функцию \( y = 4t^2 + 4t - 1 \).

Для нахождения экстремумов вычислим производную по \( t \): \[ y'(t) = 8t + 4 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 8t + 4 = 0 \]

\[ t = -\frac{1}{2} \]

Шаг 3. Найдем значения функции в критической точке и на границах отрезка \( t \in [-1; 1] \).

1. Найдем значение функции при \( t = -\frac{1}{2} \): \[ y\left( -\frac{1}{2} \right) = 4\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 4\left( -\frac{1}{2} \right) - 1 \\ y\left( -\frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) - 1 \\ y\left( -\frac{1}{2} \right) = 1 - 2 - 1 = -2 \]
2. Найдем значение функции при \( t = -1 \): \[ y(-1) = 4(-1)^2 + 4(-1) - 1 \\ y(-1) = 4 - 4 - 1 = -1 \]
3. Найдем значение функции при \( t = 1 \): \[ y(1) = 4(1)^2 + 4(1) - 1 \\ y(1) = 4 + 4 - 1 = 7 \]

Шаг 4. Найдем множество значений функции.

Мы нашли значения функции в критической точке и на границах:

• \( y = -2 \) при \( t = -\frac{1}{2} \),
• \( y = -1 \) при \( t = -1 \),
• \( y = 7 \) при \( t = 1 \).

Так как функция \( y = 4t^2 + 4t - 1 \) является квадратичной параболой, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \( t^2 \) положителен — 4), то множество значений функции будет заключено между минимальным и максимальным значениями.

Минимальное значение — это \( y = -2 \) (в критической точке), а максимальное — \( y = 7 \) (на правой границе).

Ответ: Множество значений функции: \[ y \in [-2; 7] \]