Найти частные производные функции

Давай разберем это задание.

1. Определение предмета и раздела:

Мы видим уравнение, в котором присутствует переменная \( z \), являющаяся функцией от двух других переменных: \( x \) и \( y \). В проведённом выражении используется тригонометрическая функция синус. Это означает, что задание относится к математике, а в частности, из области дифференциального исчисления или анализ функций многих переменных. Мы видим, что это выражение представлено для функции двух переменных, что характерно для математического анализа (частные производные и функции нескольких переменных).

Теперь давай посмотрим задание, которое может быть поставлено в контексте этого выражения.

2. Предполагаемое задание:

Скорее всего, требуется найти частные производные функции \( z = \sin(x^3y^4) \) по переменным \( x \) и \( y \).

Часть 1. Частная производная функции по переменной \( x \).

Чтобы найти частную производную \( z \) по \( x \), обозначим её как \( \frac{\partial z}{\partial x} \). Итак, запишем исходное выражение:

\[ z = \sin(x^3y^4) \]

Для того чтобы найти производную функции от синуса, используем правило:

\[ \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \]

То есть, нам нужно для начала взять производную аргумента \( u = x^3y^4 \) по \( x \). Вспомним, что производная произведения — это сумма производных первого множителя и второго множителя. Будем считать \( y^4 \) как константу (ведь это частная производная по \( x \)).

Найдём сначала производную аргумента \( u = x^3y^4 \):

\[ \frac{\partial}{\partial x} (x^3y^4) = 3x^2 \cdot y^4 \]

Теперь можем записать полную частную производную:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x^3y^4) \cdot (3x^2y^4) \]

Результат:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^4 \cos(x^3y^4) \]

Часть 2. Частная производная функции по переменной \( y \).

Теперь аналогично найдём частную производную \( z \) по \( y \), обозначим её как \( \frac{\partial z}{\partial y} \). Функция по-прежнему выглядит так же:

\[ z = \sin(x^3y^4) \]

Вновь используем правило дифференцирования тригонометрической функции синус. Однако теперь аргумент \( x^3y^4 \) нужно дифференцировать по \( y \), считая \( x^3 \) константой.

Найдём производную аргумента \( u = x^3y^4 \) по \( y \):

\[ \frac{\partial}{\partial y} (x^3y^4) = x^3 \cdot 4y^3 \]

Теперь можем записать полную частную производную:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^3y^4) \cdot (x^3 \cdot 4y^3) \]

Результат:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4x^3y^3 \cos(x^3y^4) \]

Итог:

Мы нашли частные производные функции \( z = \sin(x^3y^4) \) по следующим переменным:

1. Производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^4 \cos(x^3y^4) \]
2. Производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4x^3y^3 \cos(x^3y^4) \]

Если нужно что-то ещё по этому упражнению — дай знать!