Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки

Предмет: Физика (или Математика, в зависимости от курса)
Раздел: Теория погрешностей (Обработка результатов измерений)

ЗАДАНИЕ:

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
а) в узком смысле (23,574; δ = 0,2%)
б) в широком смысле (8,3445 ± 0,0022).
Определить абсолютную погрешность результата.

Решение:

а) В узком смысле:

Дано:
[a = 23{,}574],
относительная погрешность: [\delta = 0{,}2\% = 0{,}002].

Найдём абсолютную погрешность:

[\Delta a = a \cdot \delta = 23{,}574 \cdot 0{,}002 = 0{,}047148]

Округлим абсолютную погрешность до двух значащих цифр (по стандарту):

[\Delta a \approx 0{,}047]

Теперь определим количество верных цифр.
Согласно правилу: в узком смысле верными считаются только те цифры, которые не изменятся при добавлении абсолютной погрешности.

Проверим:

[a_1 = a + \Delta a = 23{,}574 + 0{,}047 = 23{,}621]

Сравним с исходным числом:
23,574 → 23,621 — изменились цифры начиная с третьей после запятой.

Значит, верными остаются только две цифры после запятой, то есть:

[a = 23{,}57 \pm 0{,}05]

(погрешность округлена до одного сомнительного разряда — сотых)

б) В широком смысле:

Дано:
[a = 8{,}3445],
абсолютная погрешность: [\Delta a = 0{,}0022]

В широком смысле верными считаются все цифры до сомнительной (включительно).

Сомнительная цифра — та, которая находится на том же месте, что и младший разряд погрешности.

Посмотрим на разряд погрешности:

[\Delta a = 0{,}0022] — младший разряд: четвёртая цифра после запятой, т.е. разряд 10⁻⁴.

Значит, сомнительная цифра — 4 (четвёртая после запятой), а верными считаются все цифры до неё включительно.

Следовательно, верные цифры: 8,344

Округлим число и погрешность до разряда 10⁻⁴:

[a = 8{,}344 \pm 0{,}002]

Ответ:

а) В узком смысле:
[a = 23{,}57 \pm 0{,}05]

б) В широком смысле:
[a = 8{,}344 \pm 0{,}002]