Задать отношение списком и матрицей

Задание относится к Математике, разделу Математическая логика и теория множеств, тема — Отношения на множестве.

Шаг 1: Определим исходное отношение \( R \)

Дано множество \( M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \). Отношение \( R \) определено следующим образом: \[ R = \{(a, b) \mid \frac{a + b}{2} \in M\} \] Это означает, что мы будем включать в \( R \) пары \( (a, b) \), если среднее арифметическое \( a \) и \( b \) является элементом множества \( M \).

Шаг 2: Задание отношения \( R \) списком

Чтобы задать \( R \) списком, переберём все возможные пары \( (a, b) \) при \( a, b \in M \), и оставим только те, которые удовлетворяют условию \( \frac{a + b}{2} \in M \). Пример:

1. \( a = 1, b = 1 \) → \( \frac{1+1}{2} = 1 \in M \) → \( (1, 1) \in R \)
2. \( a = 1, b = 2 \) → \( \frac{1+2}{2} = 1.5 \notin M \) → \( (1, 2) \notin R \)
3. \( a = 1, b = 3 \) → \( \frac{1+3}{2} = 2 \in M \) → \( (1, 3) \in R \)

Так продолжаем для всех \( a \) и \( b \) из множества \( M \). После перебора всех значений получаем: \[ R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), \dots \} \]

Шаг 3: Задание отношения матрицей

Для задания отношения матрицей строим следующую матрицу \( 9 \times 9 \), где элемент \( M[i][j] = 1 \), если \( (i+1, j+1) \in R \), и \( 0 \), если \( (i+1, j+1) \notin R \):

\[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{matrix} \]

Шаг 4: Определение других отношений

• \( \overline{R} \) — дополнение отношения: Это отношение будет включать все пары, которые не входят в \( R \), то есть где \( \frac{a + b}{2} \notin M \).
• \( R^{-1} \) — обратное отношение: Это отношение содержит все пары \( (b, a) \), где \( (a, b) \in R \).
• \( RR \) — композиция отношения с собой: Композиция \( RR \) означает, что существует промежуточный элемент \( c \), такой что \( (a, c) \in R \) и \( (c, b) \in R \), то есть пары, такие что их можно составить через другой элемент множества \( M \).
• \( R \cup R \) — объединение отношений: Это просто само исходное отношение \( R \), потому что объединение отношения с собой даёт то же самое отношение.

Шаг 5: Свойства отношений

• Симметричность: Проверим, симметрично ли отношение \( R \). Отношение симметрично, если из \( (a, b) \in R \) следует \( (b, a) \in R \). Пары \( (1, 3) \in R \), но \( (3, 1) \in R \), следовательно, отношение симметрично.
• Рефлексивн...