Упростите выражение (A пересечь не B) объединить (B пересечь не C) объединить (C пересечь не B) объединить (A пересечь B пересечь C)

Предмет: Математика Раздел: Теория множеств

Нам нужно упростить следующее выражение в терминах множеств: \[ (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \]

Шаг 1: Анализ и разбор каждого элемента:

• \( A \cap \overline{B} \): Это множество всех элементов, принадлежащих \( A \), но не принадлежащих множеству \( B \).
• \( B \cap \overline{C} \): Это множество всех элементов, принадлежащих \( B \), но не принадлежащих множеству \( C \).
• \( C \cap \overline{B} \): Это множество всех элементов, принадлежащих \( C \), но не принадлежащих множеству \( B \).
• \( A \cap B \cap C \): Это множество всех элементов, принадлежащих одновременно множества \( A \), \( B \) и \( C \) — их пересечение.

Теперь нам нужно упростить объединение этих множеств.

Шаг 2: Рассмотрение объединения

Мы видим, что у нас есть пересечения с \( B \) и без \( B \). Для упрощения нужно выявить взаимосвязи между этими множествами, чтобы избежать дублирования.

Хотим обратить внимание на следующее:

• \( A \cap B \cap C \) — это часть множества \( A \cap B \) и часть множества \( B \cap C \). Заметим, что ни одно из выражений с дополнением от \( B \) не будет пересекаться с \( A \cap B \cap C \), поэтому его можно добавить в результат.
• \( A \cap \overline{B} \), \( B \cap \overline{C} \), и \( C \cap \overline{B} \) — это непересекающиеся части множества, потому что у каждого из них есть логическое ограничение либо на исключение элементов из \( B \), либо из \( C \).

Шаг 3: Объединение

Итак, наше выражение можно переформулировать как: \[ (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \]

Это и есть ответ — дальнейшее упрощение невозможно, так как все части выражения непересекающиеся и их нельзя сократить или объединить без потери структуры.

Итог: Упрощение выполнено, и мы оставляем выражение в точном виде:

\[ (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \]