Укажите, является ли функция инъекцией, сюръекцией, биекцией

Предмет: Математика
Раздел: Теория функций

Рассмотрим функцию f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, заданную выражением:

f(x) = e^x.

Проверка на инъективность

Функция f(x) называется инъективной, если для любых x_1, x_2 \in \mathbb{R} из условия f(x_1) = f(x_2) следует, что x_1 = x_2.

Рассмотрим уравнение:

e^{x_1} = e^{x_2}

Так как экспоненциальная функция строго монотонно возрастает, то равенство возможно только при x_1 = x_2.

Следовательно, функция инъективна.

Проверка на сюръективность

Функция f(x) называется сюръективной, если для любого y \in \mathbb{R} существует такое x \in \mathbb{R}, что f(x) = y.

Рассмотрим уравнение:

e^x = y

Так как e^x принимает только положительные значения (e^x > 0 при любом x \in \mathbb{R}), то не для каждого y \in \mathbb{R} можно найти соответствующее x. Например, для y = -1 уравнение e^x = -1 не имеет решений.

Следовательно, функция не является сюръективной, так как ее область значений — это (0, +\infty), а не вся \mathbb{R}.

Проверка на биективность

Функция называется биекцией, если она одновременно инъективна и сюръективна.

Так как функция f(x) = e^x инъективна, но не является сюръекцией, то она не является биекцией.

Ответ

Функция f(x) = e^x:

• Инъективна (проверено через строгое возрастание).
• Не сюръективна (ее область значений — (0, +\infty), а не вся \mathbb{R}).
• Не биективна, так как не является сюръекцией.