Сформулировать характеристическое свойство, изображённой части множества

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств

Разберём все пункты задания по порядку:

Задание 1

Условие:
Даны множества:

• A — множество цифр в числе 1144
• B — множество цифр в числе 751
• C — множество цифр в числе 4354

Найти:
а) (A \cup B) \subset C
б) C \subset A \cup B

Решение:

Находим множества:

• A = \{1, 4\}
• B = \{7, 5, 1\}
• C = \{4, 3, 5\}

а) A \cup B = \{1, 4, 5, 7\}
Проверим, является ли (A \cup B) \subset C:
\{1, 4, 5, 7\} \subset \{4, 3, 5\} — нет, так как 1 и 7 не входят в C.

б) Проверим, C \subset A \cup B:
\{4, 3, 5\} \subset \{1, 4, 5, 7\} — нет, так как 3 отсутствует в A \cup B.

Задание 2

Условие:
P = \{E \mid E \subset \{3, 5\} \},
Q = \{E \mid E \subset \{3\} \}
Найти:
а) Q \subseteq P
б) P \subseteq Q

Решение:

Множество всех подмножеств (булеан) множества {3, 5}: P = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{3, 5\} \}

Множество всех подмножеств множества {3}: Q = \{\emptyset, \{3\} \}

а) Q \subseteq P — да, так как все элементы Q входят в P
б) P \subseteq Q — нет, так как, например, \{5\} \in P, но \{5\} \notin Q

Задание 3

Условие:
Даны множества:

• A — множество учащихся в школе
• B — множество мальчиков
• C — множество девочек

а) Изобразить на кругах Эйлера:
(C \cup A) \setminus (A \cap B)

Решение:

• A — универсум (все учащиеся)
• B — подмножество A (мальчики)
• C — подмножество A (девочки)

C \cup A = A (так как C ⊆ A)
A \cap B = B
Тогда выражение:
(C \cup A) \setminus (A \cap B) = A \setminus B — то есть все учащиеся, кроме мальчиков → это и есть девочки + те, кто не мальчики.

Задание 4

Условие:
Сформулировать характеристическое свойство, изображённой части множества.

(Вопрос не полностью ясен без рисунка, предполагается, что нужно дать характеристику множеству A \ B)

Ответ:
A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}

Задание 5

Условие:
Привести на теоретико-множественном языке:
а) Изобразить на координатной плоскости элементы декартова произведения C \times D, если:

• C = \{1, 2, 3\}
• D = \{3, 5\}

б) C = \{-4, 1\}, D = \mathbb{N}

Решение:

а)
C \times D = \{(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)\}

б)
C \times D = \{(-4, n), (1, n) \mid n \in \mathbb{N}\} — множество всех пар, где первая координата -4 или 1, а вторая — любое натуральное число.

Задание 6

Условие:
Докажите, что для любых множеств A, B, C верно равенство:
A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)

Решение:

Это одно из стандартных тождеств теории множеств. Докажем его.

Левая часть: A \setminus (B \cup C) = \{x \in A \mid x \notin B \cup C\} = \{x \in A \mid x \notin B \land x \notin C\}

Правая часть: (A \setminus B) \cap (A \setminus C) = \{x \in A \mid x \notin B\} \cap \{x \in A \mid x \notin C\} = \{x \in A \mid x \notin B \land x \notin C\}

Следовательно, обе части равны.

✅ Равенство доказано.

Если нужно, могу оформить это в виде таблицы или схем.