Проверить истинность равенств

Предмет: математика, раздел теория множеств.

Условие задачи:

Проверить истинность равенства: (\overline{A \cap B} \cap (A \setminus B)) = B

Решение:

Для того чтобы проверить это равенство, воспользуемся свойствами операций над множествами и определениями пересечения, дополнения и разности множеств.

1. Дополнение \(\overline{A \cap B}\) означает все элементы, которые не принадлежат одновременнно как множеству \(A\), так и множеству \(B\). То есть: \overline{A \cap B} = (A^c \cup B^c)
2. Разность множеств \(A \setminus B\) — это множество всех элементов, которые принадлежат \(A\), но не принадлежат \(B\). То есть, \(A \setminus B = A \cap B^c\).

Теперь решим выражение: \overline{A \cap B} \cap (A \setminus B)

Подставим разность множеств \( A \setminus B = A \cap B^c \):

\overline{A \cap B} \cap (A \setminus B) = \overline{A \cap B} \cap (A \cap B^c)

Теперь используем выражение для дополнения \(\overline{A \cap B} = A^c \cup B^c\), и подставим в выражение:

(A^c \cup B^c) \cap (A \cap B^c)

Распределим пересечение относительно объединения:

= (A^c \cap (A \cap B^c)) \cup (B^c \cap (A \cap B^c))

Теперь рассмотрим каждую часть по отдельности:

1. (A^c \cap (A \cap B^c)) = \emptyset, потому что пересечение \(A^c\) и \(A\) всегда пусто.
2. \(B^c \cap (A \cap B^c) = A \cap B^c\), так как \(B^c \cap B^c = B^c\).

Итак, осталось: A \cap B^c

Это выражение как раз и является определением разности \(A \setminus B\). Однако задача спрашивает, сравнить это с множеством \(B\).

Ответ:

Равенство неверно, поскольку левая часть является выражением \(A \cap B^c\), а это явно не равно множеству \(B\) во всех случаях.