Приведите пример биекции между множествами

Задание относится к предмету математика, разделу теория множеств и функции.

Определение термина:

Биекция — это взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств. Это значит, что функция является инъективной (каждому значению в областях определения соответствует не более одного значения в области значений) и сюръективной (все значения области значений могут быть получены с помощью функции).

Даны множества:

• \( A = (-\infty; 6) \)
• \( B = (8; + \infty) \)

Нужно построить биекцию между этими множествами.

Шаг 1: Поиск подходящей функции

Для построения биекции мы можем использовать линейную функцию вида: \[ f(x) = ax + b \]

Требуется, чтобы:

• Область определения функции \( f(x) \) была равна \( A = (-\infty; 6) \). То есть \( x \in A = (-\infty; 6) \).
• Область значений функции \( f(x) \) была равна \( B = (8; +\infty) \). То есть \( f(x) \in (B) \).

Шаг 2: Рассмотрение поведения функции на границах

• При \( x \to -\infty \), должно выполняться \( f(x) \to + \infty \).
• При \( x \to 6 \), должно выполняться \( f(6) = 8 \).

Это позволяет установить следующие условия:

1. \( f(6) = 8 \).
2. Функция \( f(x) \) должна быть возрастающей (или строго возрастающей).

Шаг 3: Отыскание коэффициентов

Начнем с условия \( f(6) = 8 \). Подставим это в линейную функцию:

\[ f(6) = a \cdot 6 + b = 8 \]

Отсюда уравнение:

\[ 6a + b = 8 \]

Теперь осталось выбрать коэффициент \( a \). Чтобы функция была возрастающей, можем взять \( a = 1 \) (так как это наименьший положительный коэффициент, который гарантирует биекцию).

Подставим \( a = 1 \) в уравнение:

\[ 6 \cdot 1 + b = 8 \]

\[ 6 + b = 8 \]

\[ b = 2 \]

Шаг 4: Формула функции

Теперь у нас есть окончательная функция, описывающая биекцию:

\[ f(x) = x + 2 \]

Проверка

1. Область определения \( f(x) \) — это \( x \in (-\infty; 6) \).
2. Область значений \( f(x) = x + 2 \). При \( x \to 6 \), имеем \( f(6) = 8 \), а при \( x \to - \infty \), \( f(x) \to + \infty \). Значит, область значений \( f(x) \in (8; + \infty) \).

Вывод

Функция \( f(x) = x + 2 \) является биекцией между множествами \( A = (-\infty; 6) \) и \( B = (8; + \infty) \).