Построить отображение между двумя множествами

Предмет: Математика

Раздел: Теория множеств и отображений (функций)

В данном задании требуется построить отображение между двумя множествами \(A = \{a, b, c, d\}\) и \(B = \{7, 9, 12, 14\}\) и проанализировать, какие из этих отображений инъективны, сюръективны и биективны.

Определения:

1. Инъективное отображение (инъекция): Даже если для разных элементов из \(A\), отображения не совпадают: \[ f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2 \] Проще говоря, если два элемента из множества \(A\) отображаются в два разных элемента множества \(B\).
2. Сюръективное отображение (сюръекция): Все элементы множества \(B\) имеют образ в \(A\). То есть для каждого \(b \in B\) существует хотя бы одно \(a \in A\), такое что \(f(a) = b\).
3. Биективное отображение (биекция): Отображение одновременно является инъективным и сюръективным, то есть каждому элементу множества \(A\) соответствует уникальный элемент множества \(B\), и каждому элементу множества \(B\) соответствует уникальный элемент множества \(A\).

Попробуем построить такие отображения:

1. Инъективное отображение (инъекция)

Чтобы построить инъективное отображение, нужно убедиться, что разные элементы множества \(A\) отображаются в разные элементы множества \(B\). Вот один из возможных примеров:

\[ f: A \to B, \quad f(a) = 7, \ f(b) = 9, \ f(c) = 12, \ f(d) = 14 \]

• \(f(a) = 7\)
• \(f(b) = 9\)
• \(f(c) = 12\)
• \(f(d) = 14\)

Разные элементы множества \(A\) отображены в разные элементы множества \(B\), значит, отображение инъективно.

2. Сюръективное отображение (сюръекция)

Чтобы построить сюръективное отображение, важно, чтобы каждый элемент множества \(B\) имел хотя бы один прообраз в \(A\), то есть чтобы всякое \(b \in B\) было образом элемента из \(A\).

Выше построенное инъективное отображение является также сюръективным, так как каждому элементу множества \(B\) сопоставлен хотя бы один элемент множества \(A\). Для всех \(b \in B\), существует \(a \in A\), которому оно соответствует:

• \(f(a) = 7\)
• \(f(b) = 9\)
• \(f(c) = 12\)
• \(f(d) = 14\)

Таким образом, отображение является сюръективным.

3. Биективное отображение (биекция)

Так как наше отображение \(f\) является одновременно и инъективным (разные элементы \(A\) отображаются в разные элементы \(B\)) и сюръективным (каждый элемент \(B\) имеет прообраз в \(A\)), мы можем заключить, что это отображение также биективно.

Итак, отображение: \[ f(a) = 7, \quad f(b) = 9, \quad f(c) = 12, \quad f(d) = 14 \] является биекцией.

Итог:

• Инъективное отображение: Пример был построен: \(f(a) = 7, f(b) = 9, f(c) = 12, f(d) = 14\).
• Сюръективное отображение: Это же отображение подходит для сюръективного, оно охватывает все элементы множества \(B\).
• Биективное отображение: Так как отображение одновременно инъективно и сюръективно, оно является биекцией.

Проверим, что это инъекция: