Определите свойства у G4 область определения, область значения, биекция, сюръекция, инъекция, всюду определенность, функциональность

Предмет и направление задачи:

Данный вопрос относится к дискретной математике или теории множеств и, возможно, также к изучению свойств функций. Мы имеем множество \( G_4 \), описание которого дано следующим образом: \[ G_4 = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2 + y^2 = 100 \}. \]

Разбор задачи:

• \( (x, y) \in \mathbb{Z}^2 \) означает, что \(x\) и \(y\) — это целые числа (\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел), то есть речь идет о точках на плоскости с целыми координатами.
• Уравнение \( x^2 + y^2 = 100 \) описывает окружность с радиусом 10 в декартовой системе координат. Мы ищем только те точки на этой окружности, которые имеют целочисленные координаты.

1. Область определения:

Областью определения являются все целые числа \(x\) и \(y\), такие что \(x^2 + y^2 = 100\). Это значит, что ты рассматриваешь целые решения уравнения данной окружности.

2. Область значений:

Поскольку мы имеем дело с точками в двумерном пространстве, сам факт нахождения всей области значений менее значим. Здесь область значений состоит из всех пар \( (x, y) \), которые удовлетворяют уравнению.

3. Функциональность:

Множество \( G_4 \) не является функцией. Оно дает множество точек, но не определяет однозначного соответствия между аргументами (нет "входа" и "выхода" в виде функциональной зависимости).

4. Всюду определенность:

Говоря о всюду определенности, это свойство относится скорее к функциям. Так как \( G_4 \) не является функцией, понятие "всюду определенности" не актуально.

5. Инъекция (однозначность):

Инъекция — это свойство функции, когда каждому значению "на выходе" соответствует только одно значение "на входе". Поскольку \( G_4 \) — это множество пар точек, а не функция, понятие инъекции здесь неприменимо.

6. Сюръекция (полнота):

Для сюръективности функция должна охватывать всю область значений. Опять-таки, \( G_4 \) это всего лишь множество точек, а не функция, понятие сюръекции здесь также не актуально.

7. Биекция:

Биекция — это одновременная инъекция и сюръекция. Поскольку \( G_4 \) не является функцией, биекцией это множество не обладает.

Найдем все целые решения уравнения \( x^2 + y^2 = 100 \):

Перепишем уравнение: \[ x^2 + y^2 = 100. \] Разложим число 100 на суммы квадратов целых чисел. Мы ищем такие целочисленные пары.

1. \( x = 10, y = 0 \).
2. \( x = -10, y = 0 \).
3. \( x = 0, y = 10 \).
4. \( x = 0, y = -10 \).
5. \( x = 6, y = 8 \).
6. \( x = -6, y = 8 \).
7. \( x = 6, y = -8 \).
8. \( x = -6, y = -8 \).
9. \( x = 8, y = 6 \).
10. \( x = -8, y = 6 \).
11. \( x = 8, y = -6 \).
12. \( x = -8, y = -6 \).

То есть множество \( G_4 \) состоит из 12 точек с целочисленными координатами, которые лежат на окружности радиусом 10. \[ G_4 = \{ (10, 0), (-10, 0), (0, 10), (0, -10), (6, 8), (-6, 8), (6, -8), (-6, -8), (8, 6), (-8, 6), (8, -6), (-8, -6) \}. \]

Подведем итог:

• \( G_4 \) — это множество точек на плоскости с целыми координатами, равномерно распределенных на окружности с радиусом 10.
• Здесь не рассматриваются функции, потому не применимы понятия инъекции, сюръекции, биекции, функциональности и всюду определенности.
• Область значений — это множество вышеуказанных пар целых чисел.