Определите мощности следующих множеств

Это задание связано с теорией множеств, и с понятием "мощности множества". Мощность множества - это количество элементов в множестве. В некоторых случаях мощность множества конечна, а в других — бесконечна. Теперь разберём каждый из пунктов.

а) Множество точек плоскости \(xOy\), обе координаты которых — натуральные числа.

Натуральные числа — это числа от 1 и выше (1, 2, 3, …). У нас есть множество точек \( (x, y) \) на плоскости, где и \(x\), и \(y\) — натуральные числа.

• Для каждой координаты \(x \in \mathbb{N}\), множества натуральных чисел бесконечны, то есть множество точек, для которых обе координаты натуральны, бесконечно.
• Это множество аналогично двумерной решётке на плоскости, и оно содержит бесконечно много точек.

Ответ: Множество имеет мощность счётного бесконечного множества.

b) Множество точек окружности на плоскости \(xOy\) с центром в начале координат и радиусом 5.

Точки, принадлежащие окружности с радиусом 5 и центром в точке \( (0,0) \), удовлетворяют уравнению окружности:

\[ x^2 + y^2 = 25. \]

Рассмотрим множество всех таких точек. Любая окружность является непрерывным множеством точек на плоскости, и каждая точка имеет вещественные координаты. Следовательно, количество точек на окружности бесконечно.

Ответ: Множество имеет мощность континуум (непрерывно-бесконечное множество).

c) Множество прямых, параллельных оси ординат на плоскости \(xOy\).

Любая прямая, параллельная оси ординат, имеет уравнение вида \(x = c\), где \(c\) — любое вещественное число. Значит, для каждого значения \(c \in \mathbb{R}\) существует своя прямая. Количество таких прямых равно количеству действительных чисел.

Ответ: Множество также имеет мощность континуум.

d) Множество целых чисел, кратных 5.

Целые числа, кратные 5, – это числа вида \( 5n \), где \(n\) – целое число, то есть \(..., -10, -5, 0, 5, 10, ...\). Такие числа можно записать в виде арифметической прогрессии. Это множество чисел является счётным, поскольку для каждого целого значения \(n\) существует уникальное число, кратное 5.

Итоги:

• а) Счётное бесконечное множество.
• b) Континуум (непрерывное бесконечное множество).
• с) Континуум (непрерывное бесконечное множество).
• d) Счётное бесконечное множество.

Ответ: Множество имеет мощность счётное бесконечное.