Определить, является ли ( S ) отношением эквивалентности

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и отношений

Дано бинарное отношение ( S ), заданное матрицей смежности ( C ). Необходимо определить, является ли ( S ) отношением эквивалентности и, если да, то сколько у него классов смежности, либо является ли оно отношением порядка.

1. Условие эквивалентности

Отношение ( S ) является отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

• Рефлексивность: для любого элемента ( a ) выполняется ( (a, a) \in S ), то есть на главной диагонали матрицы ( C ) стоят единицы.
• Симметричность: если ( (a, b) \in S ), то и ( (b, a) \in S ), то есть матрица ( C ) симметрична.
• Транзитивность: если ( (a, b) \in S ) и ( (b, c) \in S ), то ( (a, c) \in S ).

2. Анализ матрицы

Матрица ( C ) представлена в следующем виде:
[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]

• Главная диагональ содержит только единицы → рефлексивность выполняется.
• Матрица симметрична относительно главной диагонали → симметричность выполняется.
• Проверяем транзитивность:
  • Из ( (2,3) \in S ) и ( (3,2) \in S ) следует, что ( (2,2) ) и ( (3,3) ) уже есть в ( S ), значит, транзитивность выполняется.
  • Аналогично для ( (4,5) ) и ( (5,4) ).

Следовательно, отношение ( S ) является отношением эквивалентности.

3. Определение числа классов эквивалентности

Классы эквивалентности определяются как множества элементов, между которыми есть связь согласно ( S ):

• ( {1} )
• ( {2,3} )
• ( {4,5} )
• ( {6} )

Таким образом, отношение ( S ) разбивает множество на четыре класса эквивалентности, а не три или два.

4. Проверка на отношение порядка

Отношение порядка должно быть рефлексивным, антисимметричным и транзитивным. Однако матрица симметрична, а антисимметричность требует, чтобы ( (a,b) \in S ) и ( (b,a) \in S ) приводило к ( a = b ), что не выполняется. Следовательно, ( S ) не является отношением порядка.

Ответ:

Отношение ( S ) – отношение эквивалентности с 4 классами смежности.
Ни один из предложенных вариантов не является правильным.