Определить свойства функции: инъективность и/или сюръективность

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и отображений (функции), свойства отображений: инъективность и сюръективность

Задание:

Рассмотрим отображение:

f : [0; 2] \to [0; 4], заданное формулой
f(x) = |x - 1|

Нужно определить свойства функции: инъективность и/или сюръективность.

Шаг 1: Исследуем множество определения и множество значений

Область определения:
x \in [0; 2]

Формула функции:
f(x) = |x - 1|

Рассмотрим поведение функции на отрезке [0; 2]:

• f(0) = |0 - 1| = 1
• f(1) = |1 - 1| = 0
• f(2) = |2 - 1| = 1

Таким образом, множество значений функции: f([0;2]) = \{0, 1\}

Шаг 2: Проверим инъективность

Функция инъективна, если разные аргументы переходят в разные значения, т.е. если
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

Но: f(0) = 1 и f(2) = 1, при этом 0 \ne 2.

Значит, функция не инъективна.

Шаг 3: Проверим сюръективность

Функция сюръективна, если её значения покрывают всю область значений, т.е.
f([0;2]) = [0;4]

Но мы уже выяснили, что: f([0;2]) = \{0, 1\} \subset [0;4]

Значит, функция не сюръективна.

Ответ:

Функция не инъективна и не сюръективна.

Правильный вариант:
4) не инъективно и не сюръективно ✅