Определить пары, принадлежащие обратному бинарному отношению

Предмет: Математика

Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Дано бинарное отношение:

\rho = \{(x, y) \mid x + y \leq 3, x \in \{1,2,4\}, y \in \{-1,0,2\} \}

Требуется определить пары, принадлежащие обратному бинарному отношению \rho^{-1}, то есть пары (y, x), где (x, y) \in \rho.

1. Найдём все пары (x, y), удовлетворяющие условию x + y \leq 3:

• Для x = 1:

  • 1 + (-1) = 0 \leq 3 → (1, -1) \in \rho
  • 1 + 0 = 1 \leq 3 → (1, 0) \in \rho
  • 1 + 2 = 3 \leq 3 → (1, 2) \in \rho

• Для x = 2:

  • 2 + (-1) = 1 \leq 3 → (2, -1) \in \rho
  • 2 + 0 = 2 \leq 3 → (2, 0) \in \rho
  • 2 + 2 = 4 \not\leq 3 → не подходит

• Для x = 4:

  • 4 + (-1) = 3 \leq 3 → (4, -1) \in \rho
  • 4 + 0 = 4 \not\leq 3 → не подходит
  • 4 + 2 = 6 \not\leq 3 → не подходит

2. Запишем обратное отношение \rho^{-1}:

Меняем местами элементы в парах:

\rho^{-1} = \{(-1,1), (0,1), (2,1), (-1,2), (0,2), (-1,4) \}

3. Проверяем предложенные варианты:

• (1,2) → нет в \rho^{-1} ❌
• (1,-1) → нет в \rho^{-1} ❌
• (-1,2) → есть в \rho^{-1} ✅
• (-1,4) → есть в \rho^{-1} ✅

Ответ:

Правильные варианты:
✅ c. (-1,2)
✅ d. (-1,4)