Определить мощность множества точек плоскости, обе координаты которых являются целыми числами

Предмет: Математика

Раздел: Теория множеств, Геометрия

Задание:

Определить мощность множества точек плоскости \( xOy \), обе координаты которых являются целыми числами.

Решение:

Шаг 1. Понять, что требуется.

Нам необходимо определить мощность множества точек на плоскости \( xOy \), для которых обе координаты \( (x, y) \) являются целыми числами. Эти точки также называют узловыми точками плоскости с сеткой из целых чисел.

Мощность математического множества — это количество элементов в данном множестве. Если множество бесконечно, то мощность может быть конечной (в случае ограниченных множеств) или бесконечной (в случае неограниченных множеств).

Шаг 2. Определение множества целочисленных точек.

Мы ищем множество точек, для которых \( x \in \mathbb{Z} \) и \( y \in \mathbb{Z} \), где \( \mathbb{Z} \) — это множество всех целых чисел (множество включает как положительные, так и отрицательные числа, а также ноль). То есть, ищем множество точек вида:

\[ M = \{ (x, y) \, | \, x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{Z} \} \]

Для каждой точки \( x \) и \( y \), обе координаты могут принимать бесконечное количество значений. Поскольку \( x \) может быть любым целым числом, а \( y \) также любым целым числом, получается, что:

1. Для каждого конкретного значения \( x \), для \( y \) также существует бесконечно много значений.
2. Эта ситуация повторяется для каждого целого \( x \).

Шаг 3. Характеристика бесконечного множества.

Множество целых чисел \( \mathbb{Z} \) является бесконечным. Но это не просто «большая» бесконечность. С точки зрения теории множеств, мощность множества целых чисел \( \mathbb{Z} \) эквивалентна мощности множества натуральных чисел \( \mathbb{N} \) и называется счётной бесконечностью. Пусть мощность множества целых чисел обозначим как \( \aleph_0 \) (по-венгерски «алеф-нуль»), что является обозначением для счётной бесконечности.

Шаг 4. Определение мощности множества \( M \).

Теперь, используя теоретико-множественное правило, если у нас есть две бесконечные координаты (в данном случае \( x \) и \( y \)), то их декартово произведение, то есть множество пар \( (x, y) \), также имеет счётную мощность.

Мощность декартового произведения двух счётных множеств равна тоже \( \aleph_0 \). Иными словами, несмотря на то, что точки кажутся расположенными в двумерной плоскости, мощность множества \( M \), состоящего из пар целочисленных координат \( (x, y) \), является счётной бесконечностью, то есть данное множество имеет мощность \( \aleph_0 \).

Ответ:

Мощность множества точек на плоскости \( xOy \), обе координаты которых целые числа, равна счётной бесконечности, \( \aleph_0 \).