Определение транзитивности

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Отношение P = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}, xy > 1\} задано на множестве действительных чисел. Нам нужно определить, какие два элемента этого отношения демонстрируют его нетранзитивность.

Определение транзитивности:
Отношение P называется транзитивным, если из (a, b) \in P и (b, c) \in P следует, что (a, c) \in P.

Проверим предложенные пары:

1. (2,3) и (3,2)

   • 2 \cdot 3 = 6 > 1, значит, (2,3) \in P.
   • 3 \cdot 2 = 6 > 1, значит, (3,2) \in P.
   • Проверяем (2,2): 2 \cdot 2 = 4 > 1, значит, транзитивность здесь не нарушается.

2. (1,3) и (4,0.1)

   • 1 \cdot 3 = 3 > 1, значит, (1,3) \in P.
   • 4 \cdot 0.1 = 0.4 < 1, значит, (4,0.1) \notin P.
   • Эта пара не может показать нарушение транзитивности.

3. (1,3) и (3,2)

   • 1 \cdot 3 = 3 > 1, значит, (1,3) \in P.
   • 3 \cdot 2 = 6 > 1, значит, (3,2) \in P.
   • Проверяем (1,2): 1 \cdot 2 = 2 > 1, значит, транзитивность сохраняется.

4. (0.5,3) и (3,1)

   • 0.5 \cdot 3 = 1.5 > 1, значит, (0.5,3) \in P.
   • 3 \cdot 1 = 3 > 1, значит, (3,1) \in P.
   • Проверяем (0.5,1): 0.5 \cdot 1 = 0.5 < 1, значит, (0.5,1) \notin P.

Таким образом, пара (0.5,3) и (3,1) показывает, что отношение не транзитивно, так как (0.5,1) \notin P.

Ответ: (0.5;3) и (3;1)