Определение симметричности

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Отношение P = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{N}, x \text{ делит } y\} означает, что x делит y без остатка.

Определение симметричности:
Отношение P называется симметричным, если из (x, y) \in P следует, что (y, x) \in P.

Рассмотрим предложенные пары:

1. (2;3) и (3;2)

   • 2 не делит 3 (так как 3/2 не является натуральным числом).
   • 3 не делит 2 (так как 2/3 тоже не является натуральным числом).
   • Эти пары вообще не принадлежат отношению P, поэтому они не могут показать его несимметричность.

2. (2;4) и (4;2)

   • 2 делит 4 (так как 4/2 = 2 — натуральное число).
   • 4 не делит 2 (так как 2/4 = 0.5 — не натуральное число).
   • Здесь отношение нарушает симметричность, так как (2,4) \in P, но (4,2) \notin P.

3. (1;4) и (4;8)

   • 1 делит 4 (так как 4/1 = 4 — натуральное число).
   • 4 делит 8 (так как 8/4 = 2 — натуральное число).
   • Однако эти пары не показывают нарушение симметричности, так как они не являются взаимно обратными (то есть нет пары (4;1) или (8;4) для проверки).

Вывод: Отношение не симметрично, и это доказывают элементы (2;4) и (4;2), так как (2,4) \in P, но (4,2) \notin P.