Определение антисимметричности

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Отношение ( P ) задано как:
P = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x < 2y\}

Определение антисимметричности

Отношение ( P ) называется антисимметричным, если:
(x, y) \in P \text{ и } (y, x) \in P \Rightarrow x = y

То есть, если пара ( (x, y) ) принадлежит отношению, и при этом ( (y, x) ) тоже принадлежит, то это возможно только в случае ( x = y ).

Проверка антисимметричности

Рассмотрим предложенные пары:

1. Пара (3,2) и (2,3)

   • Проверяем (3,2):
     3 < 2 \cdot 2 \Rightarrow 3 < 4 ✅ (принадлежит ( P ))
   • Проверяем (2,3):
     2 < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 6 ✅ (принадлежит ( P ))
   • Так как ( (3,2) \in P ) и ( (2,3) \in P ), но ( 3 \neq 2 ), то отношение не антисимметрично.

2. Пара (-1,1) и (1,-1)

   • Проверяем (-1,1):
     -1 < 2 \cdot 1 \Rightarrow -1 < 2 ✅ (принадлежит ( P ))
   • Проверяем (1,-1):
     1 < 2 \cdot (-1) \Rightarrow 1 < -2 ❌ (не принадлежит ( P ))
   • Данная пара не нарушает антисимметричность.

3. Пара (3,1) и (1,3)

   • Проверяем (3,1):
     3 < 2 \cdot 1 \Rightarrow 3 < 2 ❌ (не принадлежит ( P ))
   • Эта пара не нарушает антисимметричность.

Вывод

Отношение не антисимметрично, так как найдены элементы ( (3,2) ) и ( (2,3) ), которые принадлежат ( P ), но ( 3 \neq 2 ).

Ответ: (3;2) и (2;3). ✅