Операции над множествами

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств, логика, круги Эйлера

Вариант 1

Задание 1. Операции над множествами

Дано:

A = \{a, b, c, e\}
B = \{a, d, e, f\}
U = \{a, b, c, d, e, f, g\}

Найти:

1. A \cap B — пересечение множеств A и B: элементы, входящие в оба множества
   A \cap B = \{a, e\}

2. A \cup B — объединение множеств A и B: все элементы из A и B без повторений
   A \cup B = \{a, b, c, d, e, f\}

3. A \setminus B — разность множеств A и B: элементы, которые есть в A, но нет в B
   A \setminus B = \{b, c\}

4. B \setminus A — разность B и A
   B \setminus A = \{d, f\}

5. A \triangle B — симметрическая разность: элементы, входящие в A или B, но не в оба
   A \triangle B = \{b, c, d, f\}

6. \overline{A} — дополнение A в универсальном множестве U
   \overline{A} = U \setminus A = \{d, f, g\}

Задание 2. Найти множества

Дано:

A = \{c, d\}
B = \{b, c, d\}
C = \{a, b, d\}
U = \{a, b, c, d\}

1. A \cap \overline{B}
   \overline{B} = U \setminus B = \{a\}
   A \cap \overline{B} = \{c, d\} \cap \{a\} = \varnothing

2. (A \cap C) \cup \overline{B}
   A \cap C = \{d\}
   (A \cap C) \cup \overline{B} = \{d\} \cup \{a\} = \{a, d\}

3. A \cup (B \cap C)
   B \cap C = \{b, d\}
   A \cup (B \cap C) = \{c, d\} \cup \{b, d\} = \{b, c, d\}

4. (A \cup B) \cap (A \cup C)
   A \cup B = \{b, c, d\}
   A \cup C = \{a, c, d, b\} = \{a, b, c, d\}
   (A \cup B) \cap (A \cup C) = \{b, c, d\}

5. (A \cup B) \cup C
   A \cup B = \{b, c, d\}
   (A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d\}

Задание 3. Круги Эйлера

Условие: В группе спортсменов 30 человек.

• 20 — плавание
• 18 — лёгкая атлетика
• 10 — лыжи
• 11 — плавание и лёгкая атлетика
• 8 — плавание и лыжи
• 6 — лёгкая атлетика и лыжи
• ? — все три вида спорта

Обозначим:

• x — число занимающихся всеми тремя видами спорта

Формула включений и исключений:  |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| 

Подставим:  30 = 20 + 18 + 10 - 11 - 8 - 6 + x 

Считаем: 30 = 48 - 25 + x \Rightarrow 30 = 23 + x \Rightarrow x = 7

Ответ: 7 человек занимаются всеми тремя видами спорта.

Вариант 2

Задание 1. Операции над множествами

Дано:

A = \{1, 3, 6, 7\}
B = \{1, 3, 5, 6\}
U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

1. A \cap B = \{1, 3, 6\}
2. A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7\}
3. A \setminus B = \{7\}
4. B \setminus A = \{5\}
5. A \triangle B = \{5, 7\}
6. \overline{A} = U \setminus A = \{2, 4, 5, 8\}

Задание 2. Найти множества

Дано:

A = \{3, 4\}
B = \{1, 2, 4\}
C = \{2, 3\}
U = \{1, 2, 3, 4, 5\}

1. A \cap \overline{B}
   \overline{B} = \{3, 5\}
   A \cap \overline{B} = \{3\}

2. (A \cap C) \cup \overline{B}
   A \cap C = \{3\}
   \{3\} \cup \{3, 5\} = \{3, 5\}

3. A \cup (B \cap C)
   B \cap C = \{2\}
   A \cup \{2\} = \{2, 3, 4\}

4. (A \cup B) \cap (A \cup C)
   A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}
   A \cup C = \{2, 3, 4\}
   Пересечение: \{2, 3, 4\}

5. (A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4\}

Задание 3. Круги Эйлера

Условие: В группе 20 студентов.

• 10 — «отлично» по английскому
• 8 — по математике
• 7 — по физике
• 4 — по английскому и математике
• 5 — по английскому и физике
• 4 — по математике и физике
• 3 — по всем трём
• ? — не имеют отличных оценок

Обозначим:

• |A \cup B \cup C| — число студентов с хотя бы одной отличной оценкой

Формула включений и исключений:  |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| 

Подставим:  |A \cup B \cup C| = 10 + 8 + 7 - 4 - 5 - 4 + 3 = 15 

20 - 15 = 5

Ответ: 5 студентов не имеют отличных оценок.

Если нужно — могу построить круги Эйлера для каждого случая.