Найти симметричные отношения на множестве

Предмет: Математика, раздел — Теория Множеств и Логика, тема: Симметричные отношения.

Пояснение: Симметричным отношением на множестве называется отношение \( R \), для которого выполнено следующее условие: \[\forall x, y \ \text{если} \ xRy, \text{то} \ yRx.\] Для матрицы отношений это означает, что матрица должна быть симметричной относительно главной диагонали, то есть для каждой строки \( i \) и каждого столбца \( j \), элементы \( M[i,j] \) и \( M[j,i] \) должны быть равными.

Шаги для решения:

1. Рассмотрим каждую из предложенных матриц и проверим симметричны ли они относительно главной диагонали. Мы проверяем, чтобы элемент \( a_{ij} \) равнялся \( a_{ji} \).

Матрица 1:

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• \( a_{12} = 1\), \( a_{21} = 1, \) (Совпадают)
• \( a_{13} = 0\), \( a_{31} = 0, \) (Совпадают)
• \( a_{23} = 1\), \( a_{32} = 1, \) (Совпадают)

Матрица 2:

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• \( a_{12} = 0\), \( a_{21} = 0, \) (Совпадают)
• \( a_{13} = 1\), \( a_{31} = 1, \) (Совпадают)
• \( a_{23} = 1\), \( a_{32} = 1, \) (Совпадают)

Матрица 3:

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• \( a_{12} = 1 \), \( a_{21} = 0, \) (Не совпадают)

Матрица 4:

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• \( a_{12} = 1\), \( a_{21} = 1, \) (Совпадают)
• \( a_{13} = 0\), \( a_{31} = 1, \) (Не совпадают)

Ответ:

Из предложенных вариантов только первый и второй матрицы симметричны.