Найти пример биекции между множествами

Данное задание относится к предмету математика, а конкретнее к разделу теория множеств.

Задание 1. Требуется найти пример биекции между множествами \( A = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) и \( B= \mathbb{R}^+ \setminus \{0\} \).

Решение:

Множество \( A = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) — это множество всех вещественных чисел, кроме нуля. Множество \( B = \mathbb{R}^+ \setminus \{0\} \) — это множество всех положительных вещественных чисел, кроме нуля.

Пример функции биекции:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x > 0, \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x < 0. \end{cases} \]

Здесь:

• если \( x > 0 \), функция просто оставляет число как есть (\( f(x) = x \)), что формально отображает положительное число из \( A \) в себя, так как \( x \in B \),
• если \( x < 0 \), функция отображает \( x \) в положительное вещественное число через \( -1/x \) (также множество \( B \)).

Проверка:

1. Инъективность (обратимость на уровне элементов): Функция не присваивает разные значения двум разным элементам:
   • если \( f(x_1) = f(x_2) \), то для положительных элементов \( x_1 = x_2 \),
   • для отрицательных: если \( f(x_1) = f(x_2) \), это приведет к уравнению \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), следовательно, \( x_1 = x_2 \).
   Таким образом, функция инъективна.
2. Сюръективность (полнота для каждого элемента из B): Для любого \( y \in B \), существует \( x \in A \) такой, что \( f(x) = y \):
   • если \( y > 0 \), мы можем взять \( x = y \),
   • для любого положительного числа \( y \) мы можем также взять \( x = -1/y \) и \( f(x) = y \).
   Таким образом, это биекция, так как выполняются инъективность и сюръективность.

Задание 2: Определение мощностей следующих множеств.

a) Множество точек плоскости \( xOy \), обе координаты которых натуральные числа.

Пусть \( A = \{(x, y) \mid x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N} \} \). Натуральных чисел бесконечное количество, поэтому множество имеет мощность счётной бесконечности, т.е. мощность множества \( A \) = \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) = \aleph_0 \) (счётная бесконечность).

b) Множество точек окружности на плоскости \( xOy \) с центром в начале координат и радиусом 5.

Множество точек окружности — это множество вещественных чисел, задающее её уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \). Мощность множества точек окружности эквивалентна мощности вещественной оси — \( \mathbb{R} \), что равняется \( \mathfrak{c} \) (несчётная бесконечность).

c) Множество прямых, параллельных оси ординат на плоскости \( xOy \).

Прямая, параллельная оси ординат, задаётся уравнением вида \( x = c \), где \( c \in \mathbb{R} \). Таким образом, множество таких прямых соответствует множеству \( \mathbb{R} \). Мощность этого множества будет равна мощности множества вещественных чисел — \( \mathfrak{c} \) (несчётная бесконечность).

d) Множество целых чисел, кратных 5.

Таким образом, ответы:

• a) Мощность множества — счётная бесконечность \( \aleph_0 \).
• b) Мощность множества — несчётная бесконечность \( \mathfrak{c} \).
• c) Мощность множества — несчётная бесконечность \( \mathfrak{c} \).
• d) Мощность множества — счётная бесконечность \( \aleph_0 \).