Найти область определения отношения

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Задание A4:
Дано множество A = \{1, 2, 3, 4\}
и отношение P = \{(x, y) \mid x, y \in A,\ x + y = 5\}
Найти область определения отношения P \circ P (композиция отношения P с самим собой).

Шаг 1: Найдём пары в отношении P

Отношение P содержит такие пары (x, y), что x + y = 5 и x, y \in A. Переберём все возможные пары:

• (1, 4) — 1 + 4 = 5 ✔️
• (2, 3) — 2 + 3 = 5 ✔️
• (3, 2) — 3 + 2 = 5 ✔️
• (4, 1) — 4 + 1 = 5 ✔️

Итак,
P = \{(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)\}

Шаг 2: Найдём композицию отношения P \circ P

Композиция P \circ P состоит из всех пар (x, z), для которых существует y такое, что (x, y) \in P и (y, z) \in P.

Переберём возможные цепочки:

• (1,4) и (4,1) → (1,1)
• (2,3) и (3,2) → (2,2)
• (3,2) и (2,3) → (3,3)
• (4,1) и (1,4) → (4,4)

Значит,
P \circ P = \{(1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4)\}

Шаг 3: Область определения отношения

Область определения бинарного отношения — это множество всех первых элементов упорядоченных пар.

В нашем случае:
\{1, 2, 3, 4\}

Ответ:

\boxed{1) \{1, 2, 3, 4\}} ✅