Найти область определения и множество значений композиции отображений fog, где f:R → R, g: R → R

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ - Композиция функций

Задание: Найти область определения и множество значений композиции отображений \( f \circ g \), где:

• \( f(x) = \sqrt{x} \)
• \( g(x) = \frac{1 - x^2}{x^2} \)

Решение:

1. Найдем область определения функции \( g(x) \): Функция \( g(x) \) задается как: \[ g(x) = \frac{1 - x^2}{x^2} \] Для этой функции существует ограничение: \[ x^2 \neq 0 \] которое возникает из-за знаменателя. Следовательно: \[ x \neq 0 \] Таким образом, область определения функции \( g(x) \) — это все вещественные числа, кроме \( x = 0 \): \[ D(g) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
2. Найдем область определения функции \( f(x) = \sqrt{x} \): Определение функции \( f(x) \) возможно только при условии, что выражение под корнем неотрицательно, то есть: \[ x \geq 0 \] То есть, область определения функции \( f(x) \): \[ D(f) = [0, +\infty) \]
3. Найдем композицию функций \( (f \circ g)(x) \): Композиция \( f(g(x)) \) — это последовательно взятое значение функции \( g(x) \), подставленное в функцию \( f(x) \): \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{1 - x^2}{x^2}} \]
4. Найдем область определения композиции: Для того чтобы функция \( \sqrt{\frac{1 - x^2}{x^2}} \) имела смысл, требуется выполнение следующих условий:
   • Значение под корнем, то есть \( \frac{1 - x^2}{x^2} \), должно быть неотрицательным: \[ \frac{1 - x^2}{x^2} \geq 0 \]
   • Исследуем неравенство: \[ 1 - x^2 \geq 0 \quad \text{или} \quad 1 \geq x^2 \]
   • Отсюда: \[ -1 \leq x \leq 1 \]
   Таким образом, подкоренное выражение неотрицательно для всех \( x \in [-1, 1] \), кроме \( x = 0 \), потому что при \( x = 0 \) знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения композиции: \[ D(f \circ g) = [-1, 0) \cup (0, 1] \]
5. Найдем множество значений композиции: Рассмотрим функцию \( g(x) = \frac{1 - x^2}{x^2} \). Упрощаем: \[ g(x) = \frac{1}{x^2} - 1 \] При \( x \to -1 \) и \( x \to 1 \), значение \( g(x) \) стремится к \( 0 \), а при приближении \( x \to 0 \), \( g(x) \) стремится к \( +\infty \). Поэтому функция \( g(x) \) принимает все значения на интервале \[ [0, +\infty) \]. Теперь вычисляем \( f(g(x)) \): \[ f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{1 - x^2}{x^2}} \] Следовательно, множество значений функции \( f \circ g \): \[ E(f \circ g) = [0,+\infty) \]

Ответ:

• Область определения композиции: \[ D(f \circ g) = [-1, 0) \cup (0, 1] \]
• Множество значений композиции: \[ E(f \circ g) = [0,+\infty) \]