Логика и множества

Задание относится к предмету математика, раздел "Логика и множества".

В данном случае используется логическая запись между высказываниями. На изображении представлено выражение: \( A \subseteq B \iff B \subseteq A \). Это утверждение обозначает, что множества \( A \) и \( B \) равны (то есть, они содержат точно те же элементы), если и только если каждое из них является подмножеством другого, т.е.:

• \( A \subseteq B \) означает, что все элементы множества \( A \) находятся в множестве \( B \);
• \( B \subseteq A \) означает, что все элементы множества \( B \) находятся в множестве \( A \).

Доказательство:

1. Допустим, \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \). Это означает, что все элементы множества \( A \) содержатся в \( B \), и все элементы множества \( B \) содержатся в \( A \). Следовательно, оба множества содержат одни и те же элементы, и это означает, что \( A = B \). Таким образом, множества равны.
2. Теперь обратное. Если \( A = B \), то по определению равных множеств: всякий элемент, принадлежащий множеству \( A \), принадлежит множеству \( B \), и всякий элемент, принадлежащий множеству \( B \), принадлежит множеству \( A \). Следовательно, выполняются условия \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \). Таким образом, доказано: \[ A \subseteq B \iff B \subseteq A \quad \text{тогда и только тогда, когда} \quad A = B. \]