Какими свойствами обладает отношение "быть делителем" на множестве натуральных чисел?

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств, Отношения

Рассмотрим отношение "быть делителем" на множестве натуральных чисел. Обозначим это отношение как  a \mid b , что означает "число  a  делит число  b ".

Проверим свойства:

1. Рефлексивность:
   Отношение рефлексивно, если для любого  a  выполнено  a \mid a .
   Это верно, так как любое число делится само на себя.
   Вывод: отношение рефлексивно.

2. Антисимметричность:
   Отношение антисимметрично, если  a \mid b  и  b \mid a  влечет  a = b .
   Если  a  делит  b  и  b  делит  a , то это возможно только в случае  a = b .
   Вывод: отношение антисимметрично.

3. Транзитивность:
   Отношение транзитивно, если из  a \mid b  и  b \mid c  следует  a \mid c .
   Если  a  делит  b , а  b  делит  c , то  a  делит  c .
   Вывод: отношение транзитивно.

4. Симметричность:
   Отношение симметрично, если из  a \mid b  следует  b \mid a .
   Однако, например,  2 \mid 4 , но  4 \nmid 2 . Значит, отношение несимметрично.
   Вывод: отношение несимметрично.

Итог:

Отношение "быть делителем" на множестве натуральных чисел обладает рефлексивностью, антисимметричностью и транзитивностью, но не является симметричным.