Используя определение равенства множеств и операции над множествами, доказать тождество

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств

Задано тождество для доказательства:
 A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C 

Шаг 1. Определение равенства множеств

Два множества равны, если они содержат одни и те же элементы, то есть:
 X = Y \iff (x \in X \iff x \in Y) \quad \forall x 

Чтобы доказать тождество, нужно показать, что для любого элемента x выполняется:
 x \in A \cap (B \cap C) \iff x \in (A \cap B) \cap C 

Шаг 2. Распишем по определению операций пересечения

По определению пересечения:
 x \in A \cap (B \cap C) \iff x \in A \text{ и } x \in B \cap C 
 x \in B \cap C \iff x \in B \text{ и } x \in C 

Следовательно:
 x \in A \cap (B \cap C) \iff x \in A \text{ и } (x \in B \text{ и } x \in C) 
 \iff (x \in A \text{ и } x \in B) \text{ и } x \in C 

По определению пересечения:
 (x \in A \text{ и } x \in B) \iff x \in A \cap B 

Значит:
 x \in A \cap (B \cap C) \iff x \in (A \cap B) \cap C 

Вывод:

Поскольку для любого x принадлежность к левой части равносильна принадлежности к правой части, множества равны:
 A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C 

Шаг 3. Исследование с помощью диаграмм Эйлера – Венна

• Диаграммы Эйлера – Венна для трех множеств A, B, C показывают пересечения всех возможных подмножеств.
• Пересечение B \cap C — это область, где пересекаются множества B и C.
• Пересечение A \cap (B \cap C) — это область, где пересекается A с уже выделенной областью B \cap C.
• Аналогично, (A \cap B) \cap C — это область пересечения A и B, пересечённая с C.

При построении диаграмм видно, что эти области совпадают, что наглядно подтверждает справедливость тождества.

Если нужна, могу построить или описать конкретные диаграммы.