Элемент (2, корень из 2) принадлежит множествам

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств

Рассмотрим элемент ((2, \sqrt{2})). Это упорядоченная пара, где:

• (2) — целое число (также является рациональным и вещественным числом).
• (\sqrt{2}) — иррациональное число, но вещественное.

Теперь проверим принадлежность к указанным множествам:

1. ( \mathbb{R} ) (множество вещественных чисел)

   • (\mathbb{R}) — это множество вещественных чисел, но элемент ((2, \sqrt{2})) является парой чисел, а не отдельным числом.
   • Следовательно, не принадлежит ( \mathbb{R} ).

2. ( \mathbb{Z} \times \mathbb{R} ) (декартово произведение целых и вещественных чисел)

   • (2 \in \mathbb{Z}) (целое число).
   • (\sqrt{2} \in \mathbb{R}) (вещественное число).
   • Так как оба элемента принадлежат соответствующим множествам, то ((2, \sqrt{2}) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{R}).
   • Подходит.

3. ( \mathbb{R} \times \mathbb{Z} ) (декартово произведение вещественных и целых чисел)

   • (2 \in \mathbb{R}) (вещественное число).
   • (\sqrt{2} \notin \mathbb{Z}) (не является целым числом).
   • Следовательно, ((2, \sqrt{2}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{Z}).
   • Не подходит.

4. ( \mathbb{R} \times \mathbb{N} ) (декартово произведение вещественных и натуральных чисел)

   • (2 \in \mathbb{R}) (вещественное число).
   • (\sqrt{2} \notin \mathbb{N}) (не является натуральным числом).
   • Следовательно, ((2, \sqrt{2}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{N}).
   • Не подходит.

5. ( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} ) (декартово произведение рациональных и вещественных чисел)

   • (2 \in \mathbb{Q}) (рациональное число).
   • (\sqrt{2} \in \mathbb{R}) (вещественное число).
   • Так как оба элемента принадлежат соответствующим множествам, то ((2, \sqrt{2}) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{R}).
   • Подходит.

Ответ:

( \mathbb{Z} \times \mathbb{R} ) и ( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} ).