Докажите, что отношение р является отношением эквивалентности и найдите классы эквивалентности

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и реляционная алгебра

Докажем, что отношение p, заданное условием a p b \iff a^2 = b^2 на множестве \mathbb{R}, является отношением эквивалентности.

1. Рефлексивность

Отношение p рефлексивно, если для любого a \in \mathbb{R} выполняется a p a.
Проверим:
a^2 = a^2 — это верное равенство, значит, a p a выполняется.

2. Симметричность

Отношение p симметрично, если из a p b следует b p a.
Пусть a p b, то есть a^2 = b^2.
Тогда очевидно, что b^2 = a^2, следовательно, b p a.

3. Транзитивность

Отношение p транзитивно, если из a p b и b p c следует a p c.
Пусть a^2 = b^2 и b^2 = c^2.
Тогда a^2 = c^2, откуда a p c.

Так как отношение p обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, оно является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности

Класс эквивалентности элемента a — это множество всех элементов, эквивалентных a, то есть:
[a] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 = a^2 \}.

Это означает, что каждый класс эквивалентности состоит из двух чисел: a и -a.
Таким образом, классы эквивалентности имеют вид:
[a] = \{a, -a\}.

Например:

• [3] = \{3, -3\},
• [0] = \{0\} (в данном случае класс состоит из одного элемента).

Итак, множество \mathbb{R} разбивается на пары чисел, равных по модулю, и ноль как отдельный класс.