Структуры подгруппы группы "S" _"4"

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп (подгруппы симметрических групп)

Рассмотрим группу S_4 — это симметрическая группа всех перестановок множества из 4 элементов. То есть S_4 состоит из всех возможных биекций множества \{1, 2, 3, 4\} на себя. Порядок группы S_4 равен 4! = 24.

Цель: Описать структуры подгрупп группы S_4.

1. Тривиальная подгруппа и вся группа

• Тривиальная подгруппа: содержит только нейтральный элемент (тождественная перестановка).
• Вся группа S_4 — подгруппа сама себя.

2. Подгруппы порядка 2

Элементы порядка 2 — это транспозиции (перестановки двух элементов) и произведения двух независимых транспозиций.

• Транспозиции: например, (12), (13), (14), (23), (24), (34). Всего 6 таких.
• Каждая из них порождает подгруппу из двух элементов: \{e, (ij)\}.

Также есть перестановки вида (ij)(kl) — произведение двух независимых транспозиций (например, (12)(34)), которые также имеют порядок 2.

3. Подгруппы порядка 3

Перестановки порядка 3 — это циклы длины 3 (тройки), например, (123). Таких циклов — 8 штук.

Каждый такой цикл порождает подгруппу из трех элементов: \{e, (abc), (acb)\}.

4. Подгруппы порядка 4

Есть несколько типов:

• Циклические подгруппы порядка 4, порожденные 4-циклами (например, (1234)). Такие подгруппы из 4 элементов.
• Подгруппы из двух независимых транспозиций, например, \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}. Это подгруппа, изоморфная V_4 (клейнова четверка).

5. Подгруппы порядка 6

Такие подгруппы изоморфны симметрической группе S_3 (перестановки трех элементов). Они возникают как подгруппы, стабилизирующие один элемент из 4.

6. Подгруппы порядка 8

Есть подгруппы, изоморфные диэдральной группе D_4, которая описывает симметрии квадрата.

7. Подгруппы порядка 12

Они изоморфны альтернированной группе A_4 — группе чётных перестановок на 4 элементах.

8. Подгруппа порядка 24

• Это сама группа S_4.

Классификация по изоморфизму:

• 1 подгруппа порядка 1 (тривиальная)
• 6 подгрупп порядка 2 (транспозиции)
• 3 подгруппы изоморфные V_4
• 4 подгруппы порядка 3 (циклы длины 3)
• 6 подгрупп порядка 4 (циклические и V_4)
• 4 подгруппы порядка 6 (изоморфны S_3)
• 3 подгруппы порядка 8 (изоморфны D_4)
• 1 подгруппа порядка 12 (изоморфна A_4)
• 1 подгруппа порядка 24 (вся S_4)

Если тебе нужно построить решетку подгрупп S_4 или найти конкретное число подгрупп каждого порядка, могу помочь с этим отдельно.