Определить знак подстановки цикленного гипа и общее число таких подстановок

Предмет: Математика

Раздел: Теория групп и подстановок

Задача связана с определением знака подстановки и подсчетом общего числа подстановок, имеющих заданный циклический тип.

1. Циклический тип подстановки

Циклический тип подстановки описывает разбиение множества элементов на циклы. В данном случае циклический тип подстановки задан как [4, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1]. Это означает, что:

• Подстановка состоит из двух циклов длины 4,
• одного цикла длины 3,
• двух циклов длины 2,
• и трех циклов длины 1.

2. Знак подстановки

Знак подстановки определяется числом инверсий в подстановке, а также через длины циклов. Формула для определения знака подстановки через циклы выглядит следующим образом:
 \text{Знак подстановки} = (-1)^{n - k}, 
где:

• [n] — общее число элементов множества,
• [k] — количество циклов в разложении подстановки.

В данном случае:

• [n = 18] (поскольку подстановка принадлежит [S_{18}]),
• [k = 8] (поскольку подстановка состоит из 8 циклов: 2 цикла длины 4, 1 цикл длины 3, 2 цикла длины 2 и 3 цикла длины 1).

Подставим в формулу:
 \text{Знак} = (-1)^{18 - 8} = (-1)^{10} = 1. 
Таким образом, знак подстановки равен [1], то есть подстановка чётная.

3. Общее число таких подстановок

Число подстановок с заданным циклическим типом можно найти с использованием формулы:
 N = \frac{n!}{\prod_{i} (m_i \cdot l_i^{m_i})}, 
где:

• [n!] — факториал общего числа элементов,
• [l_i] — длина цикла,
• [m_i] — количество циклов длины [l_i].

В данном случае:

• [n = 18],
• Циклы: два длины 4 ([m_4 = 2]), один длины 3 ([m_3 = 1]), два длины 2 ([m_2 = 2]), три длины 1 ([m_1 = 3]).

Подставим в формулу:
 N = \frac{18!}{2! \cdot 4^2 \cdot 1! \cdot 3^1 \cdot 2! \cdot 2^2 \cdot 3! \cdot 1^3}. 

Теперь вычислим знаменатель:

• [2! = 2],
• [4^2 = 16],
• [1! = 1],
• [3^1 = 3],
• [2! = 2],
• [2^2 = 4],
• [3! = 6],
• [1^3 = 1].

Знаменатель:
 2 \cdot 16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 = 4608. 

Числитель:
 18! = 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot \dots \cdot 1 = 6402373705728000. 

Общее число подстановок:
 N = \frac{6402373705728000}{4608} = 1383782400. 

Ответ:

1. Знак подстановки: [1] (подстановка чётная).
2. Общее число подстановок: [1383782400].