Определить классы сопряженности

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп, подгруппы, классы сопряженности, теория представлений конечных групп (в частности, симметрические группы)

Задача:
Для группы ( S_4 ) (симметрической группы степени 4) требуется определить классы сопряженности (также называемые классами Фиттинга — иногда в учебной литературе это синоним классов сопряженности, хотя Фиттинг — это более общий термин в теории групп).

Что такое ( S_4 )?

Группа ( S_4 ) — это группа всех перестановок (биективных отображений) множества из 4 элементов. То есть, это группа всех возможных способов переставить 4 объекта.
Порядок группы ( S_4 ) (число её элементов) равен:

|S_4| = 4! = 24

Что такое классы сопряженности?

В теории групп класс сопряженности — это множество элементов группы, которые являются сопряжёнными между собой.
Для симметрических групп (групп перестановок) два элемента (перестановки) сопряжены тогда и только тогда, когда у них одинаковая структура цикла.

Как найти классы сопряженности в ( S_4 )?

Нужно:

1. Перечислить все возможные типы разложений перестановок в циклы (разбиения числа 4).
2. Для каждого типа — указать, сколько существует перестановок с такой структурой.
3. Это и будут классы сопряженности.

Шаг 1: Все возможные структуры циклов в ( S_4 )

Разбиения числа 4 соответствуют различным видам перестановок:

1. (1)(2)(3)(4) — тождественная перестановка (все элементы на месте)

   • Цикловая структура: 4 цикла длины 1
   • Обозначим как: [1^4]

2. (12), (13) и т.д. — транспозиции (перестановка двух элементов)

   • Цикловая структура: один цикл длины 2, два цикла длины 1
   • Обозначим как: [2,1^2]

3. (123), (124) и т.д. — 3-цикл

   • Цикловая структура: один цикл длины 3, один цикл длины 1
   • Обозначим как: [3,1]

4. (12)(34) — произведение двух независимых транспозиций

   • Цикловая структура: два цикла длины 2
   • Обозначим как: [2^2]

5. (1234) — 4-цикл

   • Цикловая структура: один цикл длины 4
   • Обозначим как: [4]

Шаг 2: Определим количество элементов в каждом классе

1. Класс [1^4] — тождественная перестановка

• Только одна такая перестановка
• Размер класса: 1

2. Класс [2,1^2] — транспозиции

• Сколько всего транспозиций в ( S_4 )?
  Нужно выбрать 2 элемента из 4: C_4^2 = 6
• Размер класса: 6

3. Класс [3,1] — 3-циклы

• Сколько 3-циклов?
  Выбираем 3 элемента из 4: C_4^3 = 4
  Для каждой тройки: два разных 3-цикла (например, (123) и (132))
  Итого: 4 \cdot 2 = 8
• Размер класса: 8

4. Класс [2^2] — произведение двух транспозиций

• Примеры: (12)(34), (13)(24), (14)(23)
• Всего таких элементов: 3
• Размер класса: 3

5. Класс [4] — 4-циклы

• Сколько 4-циклов?
  Все 4 элемента участвуют, но циклы (1234), (2341), (3412), (4123) — это однотипные циклы, но считаются разными перестановками.
  Для 4 элементов: (4 - 1)! = 3! = 6 4-циклов
• Размер класса: 6

Шаг 3: Сводим в таблицу

Проверка: сумма всех элементов = 24?

1 + 6 + 8 + 3 + 6 = 24 ✔️

Ответ:

В группе S_4 существует 5 классов сопряженности, соответствующих следующим цикловым структурам:

1. [1^4] — 1 элемент
2. [2,1^2] — 6 элементов
3. [3,1] — 8 элементов
4. [2^2] — 3 элемента
5. [4] — 6 элементов

Если что-то непонятно — обязательно напиши, я объясню ещё подробнее!