Найти все циклические подгруппы группы G = Z2 *Z3

Предмет: Абстрактная алгебра

Раздел: Теория групп

Дано: группа G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3. Это прямая произведение двух циклических групп: \mathbb{Z}_2 (группа порядка 2) и \mathbb{Z}_3 (группа порядка 3).

Наша цель — найти все циклические подгруппы этой группы.

Шаг 1: Определим порядок группы G

Порядок группы G равен произведению порядков ее компонент.

\mathbb{Z}_2 — группа порядка 2, а \mathbb{Z}_3 — группа порядка 3.

|G| = |\mathbb{Z}_2| \cdot |\mathbb{Z}_3| = 2 \cdot 3 = 6.

Таким образом, группа G состоит из 6 элементов.

Элементы группы G выглядят как упорядоченные пары:
G = \{ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2) \},
где первый компонент берется из \mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}, а второй — из \mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}.

Шаг 2: Условие для циклической подгруппы

Подгруппа является циклической, если существует элемент (a, b) \in G, такой что все элементы группы G могут быть представлены в виде степеней (или кратных) этого элемента.

Порядок элемента (a, b) равен наименьшему общему кратному (НОК) порядков его компонент:
\text{ord}((a, b)) = \text{НОК}(\text{ord}(a), \text{ord}(b)).

Здесь:

• Порядок a в \mathbb{Z}_2 равен 1 (если a = 0) или 2 (если a = 1);
• Порядок b в \mathbb{Z}_3 равен 1 (если b = 0), 3 (если b = 1 или b = 2).

Шаг 3: Перебор всех элементов группы G

Элемент (0, 0):

• Порядок (0, 0) = \text{НОК}(1, 1) = 1.
• Этот элемент порождает тривиальную подгруппу \{(0, 0)\}.

Элемент (0, 1):

• Порядок (0, 1) = \text{НОК}(1, 3) = 3.
• Подгруппа, порождаемая (0, 1):
  \langle (0, 1) \rangle = \{(0, 0), (0, 1), (0, 2)\}.

Элемент (0, 2):

• Порядок (0, 2) = \text{НОК}(1, 3) = 3.
• Подгруппа, порождаемая (0, 2):
  \langle (0, 2) \rangle = \{(0, 0), (0, 2), (0, 1)\}.
• Это та же подгруппа, что и в случае (0, 1).

Элемент (1, 0):

• Порядок (1, 0) = \text{НОК}(2, 1) = 2.
• Подгруппа, порождаемая (1, 0):
  \langle (1, 0) \rangle = \{(0, 0), (1, 0)\}.

Элемент (1, 1):

• Порядок (1, 1) = \text{НОК}(2, 3) = 6.
• Подгруппа, порождаемая (1, 1):
  \langle (1, 1) \rangle = \{(0, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 1), (1, 0)\}.
• Это вся группа G.

Элемент (1, 2):

• Порядок (1, 2) = \text{НОК}(2, 3) = 6.
• Подгруппа, порождаемая (1, 2):
  \langle (1, 2) \rangle = \{(0, 0), (1, 2), (0, 1), (1, 1), (0, 2), (1, 0)\}.
• Это та же подгруппа, что и в случае (1, 1).

Шаг 4: Вывод

Циклические подгруппы группы G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3:

1. \{(0, 0)\} — тривиальная подгруппа.
2. \{(0, 0), (0, 1), (0, 2)\}.
3. \{(0, 0), (1, 0)\}.
4. \{(0, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 1), (1, 0)\} — вся группа G.