Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Структура подгрупп группы "S" _"4" как найти
Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп, подгруппы, симметрические группы
Задание: Найти структуру подгрупп симметрической группы [S_4].
Группа [S_4] — это симметрическая группа степени 4, то есть группа всех перестановок четырех элементов. Она содержит [4! = 24] элемента.
Для нахождения структуры подгрупп группы [S_4], полезно знать, какие типы подгрупп могут существовать в такой группе. Мы рассмотрим подгруппы различных порядков. По теореме Лагранжа, порядок подгруппы должен делить порядок группы, то есть быть делителем числа 24.
Делители числа 24:
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]
Чтобы лучше понять структуру, полезно рассмотреть классы сопряженности подгрупп (подгруппы, которые можно получить друг из друга с помощью сопряжения).
Например:
Сводная таблица (без учета сопряженности):
Порядок | Тип подгруппы | Кол-во (сопряженных классов) |
---|---|---|
1 | Тривиальная | 1 |
2 | Циклическая | 6 |
3 | Циклическая | 4 |
4 | [\mathbb{Z}_4], [\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2] | 3 + 3 |
6 | [S_3] | 4 |
8 | [D_4] | 3 |
12 | [A_4] | 1 |
24 | [S_4] | 1 |
Группа [S_4] имеет богатую структуру подгрупп, включая:
Эта структура используется в теории Галуа, теории представлений и других разделах алгебры.