Найти структуру подгрупп симметрической группы [S_4]

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп, подгруппы, симметрические группы

Задание: Найти структуру подгрупп симметрической группы [S_4].

Шаг 1: Определим, что такое [S_4]

Группа [S_4] — это симметрическая группа степени 4, то есть группа всех перестановок четырех элементов. Она содержит [4! = 24] элемента.

Шаг 2: Классификация подгрупп [S_4]

Для нахождения структуры подгрупп группы [S_4], полезно знать, какие типы подгрупп могут существовать в такой группе. Мы рассмотрим подгруппы различных порядков. По теореме Лагранжа, порядок подгруппы должен делить порядок группы, то есть быть делителем числа 24.

Делители числа 24:
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]

Шаг 3: Подгруппы по порядку

Подгруппы порядка 1

• Тривиальная подгруппа [\{e\}]

Подгруппы порядка 2

• Порождаются транспозициями, например [(1\ 2)].
• Всего таких подгрупп 6 (по числу транспозиций).

Подгруппы порядка 3

• Порождаются 3-циклами, например [(1\ 2\ 3)].
• Таких 3-циклов 8, каждая подгруппа содержит 3 элемента.
• Получаем 4 подгруппы порядка 3.

Подгруппы порядка 4

• Есть два типа:
  • Циклические группы [\mathbb{Z}_4], например [(1\ 2\ 3\ 4)]
  • Прямые произведения [\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2], например подгруппа, содержащая элементы [\{e, (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3)\}]

Подгруппы порядка 6

• Изоморфны симметрической группе [S_3].
• Такие подгруппы можно получить как подгруппы, действующие на 3 из 4 элементов.

Подгруппы порядка 8

• Изоморфны диэдральной группе [D_4] (группа симметрий квадрата).

Подгруппы порядка 12

• Альтернированная группа [A_4] — четные перестановки в [S_4].
• Единственная подгруппа такого порядка.

Подгруппа порядка 24

• Вся группа [S_4].

Шаг 4: Классы сопряженности подгрупп

Чтобы лучше понять структуру, полезно рассмотреть классы сопряженности подгрупп (подгруппы, которые можно получить друг из друга с помощью сопряжения).

Например:

• Все подгруппы, изоморфные [\mathbb{Z}_3], образуют один класс сопряженности.
• Все подгруппы, изоморфные [S_3], тоже образуют один класс.

Шаг 5: Итоговая структура подгрупп [S_4]

Сводная таблица (без учета сопряженности):

Вывод:

Группа [S_4] имеет богатую структуру подгрупп, включая:

• Циклические подгруппы различных порядков
• Диэдральные подгруппы
• Подгруппы, изоморфные [S_3] и [A_4]
• Несколько классов сопряженности

Эта структура используется в теории Галуа, теории представлений и других разделах алгебры.