Нахождение порядков элементов в группе

Предмет: Алгебра
Раздел: Теория групп

Задача заключается в нахождении порядков элементов в группе [Z_8] (множество целых чисел по модулю 8 с операцией сложения по модулю).

Теория:

Порядок элемента [a] в группе определяется как наименьшее положительное число [n], для которого выполняется равенство: a^n = e,
где [e] — нейтральный элемент группы.

Однако в аддитивной группе ([Z_8], где операция — сложение по модулю 8) порядок элемента определяется немного иначе. Здесь порядок элемента [a] — это наименьшее положительное число [n], такое что: n \cdot a \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8),
где [0] — нейтральный элемент (нулевой элемент) группы.

Решение:

Группа [Z_8] состоит из элементов:
Z_8 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}.

Теперь найдем порядок каждого элемента:

1. Элемент [0]:
   Условие:
   n \cdot 0 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется для любого [n \geq 1]. Минимальное [n] равно 1.
   Порядок элемента [0]: 1.

2. Элемент [1]:
   Условие:
   n \cdot 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 8].
   Порядок элемента [1]: 8.

3. Элемент [2]:
   Условие:
   n \cdot 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 4], так как:
   4 \cdot 2 = 8 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [2]: 4.

4. Элемент [3]:
   Условие:
   n \cdot 3 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 8], так как:
   8 \cdot 3 = 24 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [3]: 8.

5. Элемент [4]:
   Условие:
   n \cdot 4 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 2], так как:
   2 \cdot 4 = 8 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [4]: 2.

6. Элемент [5]:
   Условие:
   n \cdot 5 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 8], так как:
   8 \cdot 5 = 40 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [5]: 8.

7. Элемент [6]:
   Условие:
   n \cdot 6 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 4], так как:
   4 \cdot 6 = 24 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [6]: 4.

8. Элемент [7]:
   Условие:
   n \cdot 7 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Это выполняется, когда [n = 8], так как:
   8 \cdot 7 = 56 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 8).
   Порядок элемента [7]: 8.

Ответ:

Порядки элементов в группе [Z_8]:

• Порядок [0]: 1.
• Порядок [1]: 8.
• Порядок [2]: 4.
• Порядок [3]: 8.
• Порядок [4]: 2.
• Порядок [5]: 8.
• Порядок [6]: 4.
• Порядок [7]: 8.