Доказать, что группы не изоморфны

Предмет: Абстрактная алгебра

Раздел: Теория групп

Нам нужно доказать, что группы ( Z_2 \times D_3 ) и ( A_4 ) не изоморфны, где ( Z_2 ) — циклическая группа порядка 2, ( D_3 ) — диэдральная группа порядка 6 (симметрическая группа правильного треугольника), а ( A_4 ) — альтернирующая группа порядка 12.

Шаг 1: Определим порядок каждой группы

1. Группа ( Z_2 ):
   Это циклическая группа порядка 2. Она содержит 2 элемента:
   [ Z_2 = { e, a }, \quad a^2 = e. ]

2. Группа ( D_3 ):
   Диэдральная группа ( D_3 ) описывает симметрии равностороннего треугольника. Она имеет 6 элементов:
   [ D_3 = { e, r, r^2, s, sr, sr^2 }, ] где ( r ) — вращение на ( 120^\circ ) (порядок ( r = 3 )), а ( s ) — отражение (порядок ( s = 2 )).
   Операции подчиняются следующим соотношениям:
   [ r^3 = e, \quad s^2 = e, \quad s r s = r^{-1}. ]

3. Группа ( Z_2 \times D_3 ):
   Прямое произведение ( Z_2 \times D_3 ) состоит из всех пар вида ( (x, y) ), где ( x \in Z_2 ), ( y \in D_3 ).
   Порядок ( Z_2 \times D_3 ):
   [ |Z_2 \times D_3| = |Z_2| \cdot |D_3| = 2 \cdot 6 = 12. ]

4. Группа ( A_4 ):
   Альтернирующая группа ( A_4 ) — это подгруппа всех чётных перестановок из симметрической группы ( S_4 ). Она имеет 12 элементов.

Таким образом, ( |Z_2 \times D_3| = |A_4| = 12 ), но равенство порядков не гарантирует изоморфизм.

Шаг 2: Распишем элементы и их порядки

Элементы и порядки в ( Z_2 \times D_3 ):

Элементы ( Z_2 \times D_3 ) имеют вид ( (x, y) ), где ( x \in Z_2 ), ( y \in D_3 ).

• Элементы ( Z_2 ): ( { e, a } ).
• Элементы ( D_3 ): ( { e, r, r^2, s, sr, sr^2 } ).

Комбинируя их, получаем:
[ Z_2 \times D_3 = { (e, e), (e, r), (e, r^2), (e, s), (e, sr), (e, sr^2), (a, e), (a, r), (a, r^2), (a, s), (a, sr), (a, sr^2) }. ]

Теперь вычислим порядок каждого элемента:

1. Если ( x = e ), то порядок элемента равен порядку ( y ) в ( D_3 ).
2. Если ( x = a ), то порядок элемента равен наибольшему общему кратному (НОК) порядков ( a ) и ( y ).

Например:

• ( (e, e) ): порядок = 1.
• ( (e, r) ): порядок = 3.
• ( (a, e) ): порядок = 2.
• ( (a, r) ): порядок = НОК(2, 3) = 6.

Элементы и порядки в ( A_4 ):

Группа ( A_4 ) состоит из 12 чётных перестановок:
[ A_4 = { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) }. ]

• ( e ): порядок = 1.
• Транспозиции вида ( (ij)(kl) ): порядок = 2.
• Циклы длины 3 вида ( (123) ): порядок = 3.

Шаг 3: Сравним структуры групп

( Z_2 \times D_3 ):

1. Группа содержит элементы порядка 6, например, ( (a, r) ).
2. Группа содержит 6 элементов порядка 2, например, ( (a, e) ), ( (e, s) ), ( (a, s) ), и т.д.

( A_4 ):

1. Группа не содержит элементов порядка 6.
2. Все элементы имеют порядок 1, 2 или 3.

Шаг 4: Вывод

Поскольку ( Z_2 \times D_3 ) содержит элементы порядка 6, а ( A_4 ) таких элементов не имеет, эти группы не изоморфны.