Зависимы или независимы события: «появились две десятки» и «извлеченные карты разных мастей»?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Независимость событий

Рассмотрим два события:

• ( A ) — «появились две десятки»
• ( B ) — «извлеченные карты разных мастей»

Шаг 1. Найдем вероятности событий

В колоде 36 карт есть 4 десятки. Количество способов выбрать 2 десятки из 4:
 C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6. 
Общее число способов выбрать любые 2 карты из 36:
 C_{36}^2 = \frac{36!}{2!(36-2)!} = \frac{36 \cdot 35}{2 \cdot 1} = 630. 
Тогда вероятность события ( A ):
 P(A) = \frac{6}{630} = \frac{1}{105}. 

Теперь найдем вероятность события ( B ). Всего в колоде 4 масти по 9 карт. Число способов выбрать 2 карты разных мастей:

1. Выбираем масть первой карты (4 варианта).
2. Выбираем карту в этой масти (9 вариантов).
3. Выбираем масть второй карты (3 оставшиеся масти).
4. Выбираем карту в этой масти (9 вариантов).

Общее число способов:
 4 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 9 = 972. 
Так как порядок выбора не важен, делим на 2:
 \frac{972}{2} = 486. 
Вероятность события ( B ):
 P(B) = \frac{486}{630} = \frac{81}{105}. 

Шаг 2. Найдем вероятность пересечения событий

Событие ( A \cap B ) означает, что выбраны две десятки, но разных мастей. В колоде 4 десятки разных мастей, и число способов выбрать 2 десятки разных мастей:
 C_4^2 = 6. 
Тогда вероятность пересечения:
 P(A \cap B) = \frac{6}{630} = \frac{1}{105}. 

Шаг 3. Проверим независимость

События независимы, если выполняется равенство:
 P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). 
Подставим значения:
 \frac{1}{105} \neq \frac{1}{105} \cdot \frac{81}{105}. 
Так как правые части не равны, события ( A ) и ( B ) зависимы.

Ответ: События зависимы.