Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.
Раздел: Дискретные случайные величины и их распределение, математическое ожидание и дисперсия.
Условие: В коробке есть 7 карандашей, из которых 4 — красные. На удачу извлекаются 3 карандаша. Случайная величина \( X \) — это количество красных карандашей в выборке из 3 карандашей.
Шаг 1. Определение возможных значений случайной величины \( X \)
Поскольку в выборке может оказаться от 0 до 3 красных карандашей, возможные значения случайной величины
\( X \) — это:
\[ X = \{0, 1, 2, 3\} \]
Шаг 2. Закон распределения для случайной величины \( X \)
Для каждого возможного значения
\( X \) нужно вычислить вероятность того, сколько красных карандашей окажется в выборке. Для этого используем
гипергеометрическое распределение, поскольку выборка производится безвозвратно, т.е. извлеченные карандаши не возвращаются обратно в коробку. Формула гипергеометрического распределения:
\[ P(X = x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}} \]
Где:
-
\( N = 7 \) — общее количество карандашей.
-
\( K = 4 \) — количество красных карандашей.
-
\( n = 3 \) — количество вытянутых карандашей.
-
\( x \) — количество красных карандашей в выборке, т.е. наша случайная величина
\( X \).
-
\( \binom{a}{b} \) — это число сочетаний, оно показывает, сколько способов можно выбрать
\( b \) элементов из
\( a \).
Теперь найдем
\( P(X = 0) \),
\( P(X = 1) \),
\( P(X = 2) \),
\( P(X = 3) \).
1.
Вероятность того, что в выборке нет красных карандашей ( \( P(X = 0) \) ):
\[ P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0} \binom{3}{3}}{\binom{7}{3}} = \frac{1 \times 1}{35} = \frac{1}{35} \]
2.
Вероятность того, что в выборке один красный карандаш ( \( P(X = 1) \) ):
\[ P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1} \binom{3}{2}}{\binom{7}{3}} = \frac{4 \times 3}{35} = \frac{12}{35} \]
3.
Вероятность того, что в выборке два красных карандаша ( \( P(X = 2) \) ):
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{6 \times 3}{35} = \frac{18/35} \]
4.
Вероятность того, что в выборке три красных карандаша ( \( P(X = 3) \) ):
\[ P(X = 3) = \frac{\binom{4}{3} \binom{3}{0}}{\binom{7}{3}} = \frac{4 \times 1}{35} = \frac{4/35} \]
Шаг 3. Закон распределения случайной величины \( X \)
Запишем найденные вероятности в виде таблицы для каждого возможного значения
\( X \):
| \( X \) |
\( P(X = x) \) |
| 0 |
\( \frac{1}{35} \) |
| 1 |
\( \frac{12}{35} \) |
| 2 |
\( \frac{18/35} \) |
| 3 |
\( \frac{4/35} \) |
Теперь у нас есть закон распределения случайной величины
\( X \).
Шаг 4. Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) \)
Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
\[ \mathbb{E}(X) = \sum_{x=0}^{3} x \cdot P(X = x) \]
Подставляем значения:
\[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot \frac{1}{35} + 1 \cdot \frac{12}{35} + 2 \cdot \frac{18/35} + 3 \cdot \frac{4/35} \]
Выполним вычисления:
\[ \mathbb{E}(X) = 0 + \frac{12}{35} + \frac{36}{35} + \frac{12/35} = \frac{60/35} = \frac{12/7} \]
То есть, математическое ожидание случайной величины
\( X \):
\[ \mathbb{E}(X) = \frac{12/7} \approx 1.71 \]
Шаг 5. Дисперсия \( \text{Var}(X) \)
Дисперсия дискретной случайной величины определяется как:
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 \]
Сначала найдем
\( \mathbb{E}(X^2) \):
\[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1/35} + 1^2 \cdot \frac{12/35} + 2^2 \cdot \frac{18/35} + 3^2 \cdot \frac{4/35} \]
\[ \mathbb{E}(X^2) = 0 + \frac{12/35} + \frac{72/35} + \frac{36/35} = \frac{120/35} = \frac{24/7} \]
Теперь воспользуемся формулой для дисперсии:
\[ \text{Var}(X) = \frac{24/7} - \left( \frac{12/7} \right)^2 = \frac{24/7} - \frac{144/49} = \frac{168/49} - \frac{144/49} = \frac{24/49} \]
То есть, дисперсия случайной величины
\( X \):
\[ \text{Var}(X) = \frac{24/49} \]
Шаг 6. Вероятность события \( X \in (1,2) \)
Теперь найдем вероятность того, что число красных карандашей в выборке находится в интервале от 1 до 2.
\[ P(1 \leq X \leq 2) = P(X = 1) + P(X = 2) \]
Подставляем значения:
\[ P(1 \leq X \leq 2) = \frac{12/35} + \frac{18/35} = \frac{30/35} = \frac{6/7} \]
Итоги:
- Закон распределения случайной величины
\( X \): см. таблицу выше.
- Математическое ожидание
\( \mathbb{E}(X) = \frac{12/7} \approx 1.71 \).
- Дисперсия
\( \text{Var}(X) = \frac{24/49} \).
- Вероятность события
\( X \in (1, 2) = \frac{6/7} \).