Записать формулу плотности распределения случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Нормальное распределение, плотность распределения, вероятности

Дано:
Диаметр детали — случайная величина ξ, распределённая нормально с математическим ожиданием a = 1,6 и среднеквадратическим отклонением σ = 1.

Задачи:

1. Записать формулу плотности распределения случайной величины ξ.
2. Построить график плотности распределения.
3. Найти, сколько деталей нужно взять, чтобы с вероятностью 0,8 хотя бы одна попала в интервал (1, 2).

1. Формула плотности нормального распределения

Плотность нормального распределения задаётся формулой:
 f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - a)^2}{2\sigma^2}\right) 

Подставим a = 1.6 и \sigma = 1:
 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - 1.6)^2}{2}\right) 

2. График функции плотности

Это колоколообразная кривая с максимумом в точке x = 1.6 и шириной, определяемой стандартным отклонением \sigma = 1.

3. Вероятность того, что одна деталь попала в интервал (1, 2)

Найдём вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (1, 2):
 P(1 < ξ < 2) = \int_1^2 f(x) dx = F(2) - F(1) 
где F(x) — функция распределения нормального закона с параметрами a, \sigma.

Для вычисления воспользуемся стандартной нормализацией:
 Z = \frac{ξ - a}{\sigma} 

Тогда:
 P(1 < ξ < 2) = P\left(\frac{1 - 1.6}{1} < Z < \frac{2 - 1.6}{1}\right) = P(-0.6 < Z < 0.4) 

Используя таблицу стандартного нормального распределения, найдём значения функции распределения Φ(z):
 Φ(0.4) \approx 0.6554, \quad Φ(-0.6) = 1 - Φ(0.6) \approx 1 - 0.7257 = 0.2743 

Тогда:
 P(-0.6 < Z < 0.4) = Φ(0.4) - Φ(-0.6) = 0.6554 - 0.2743 = 0.3811 

4. Найдём, сколько деталей нужно взять, чтобы с вероятностью 0.8 хотя бы одна попала в интервал (1, 2)

Обозначим:
p = 0.3811 — вероятность попадания одной детали в интервал (1, 2).
Пусть n — количество деталей.

Вероятность того, что ни одна из n деталей не попадёт в интервал (1, 2):
 (1 - p)^n 

Тогда вероятность того, что хотя бы одна попадёт, равна:
 1 - (1 - p)^n 

По условию:
 1 - (1 - p)^n \geq 0.8 
Отсюда:
 (1 - p)^n \leq 0.2 

Возьмём логарифм:
 n \ln(1 - p) \leq \ln 0.2 

Подставим численные значения:
 \ln(1 - 0.3811) = \ln(0.6189) \approx -0.479, \quad \ln 0.2 \approx -1.609 

Тогда:
 n \geq \frac{-1.609}{-0.479} \approx 3.36 

Ответ:

Необходимо взять не менее 4 деталей, чтобы с вероятностью 0.8 хотя бы одна попала в интервал (1, 2).