Законы распределения вероятностей (Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Законы распределения вероятностей (Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа)

Рассмотрим вариант 11 и решим пункты а и б.

Решение пункта (а)

Задача решается по формуле Бернулли, так как рассматривается конечное число испытаний с двумя возможными исходами (элемент либо выходит из строя, либо нет).

Формула Бернулли:
P(X = m) = C_n^m \cdot q^m \cdot p^{n-m}

где:

• C_n^m — число сочетаний из n по m,
• p — вероятность исправной работы элемента,
• q = 1 - p — вероятность выхода элемента из строя,
• n — общее число элементов,
• m — число вышедших из строя элементов.

Рассчитаем вероятность для 11а:

Дано:
n = 1000,
m = 4,
p = 0.997,
q = 1 - 0.997 = 0.003.

Используем формулу:
P(X = 4) = C_{1000}^{4} \cdot (0.003)^4 \cdot (0.997)^{996}.

Число сочетаний:
C_{1000}^{4} = \frac{1000!}{4!(996!)} = \frac{1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot 997}{4!} = 41417124750.

Подставляем:
P(X = 4) \approx 41417124750 \cdot (8.1 \times 10^{-9}) \cdot (0.99599).

Приближенный расчет:
P(X = 4) \approx 0.196.

Решение пункта (б)

Задача решается по распределению Пуассона, так как n велико, а вероятность выхода элемента из строя мала.

Формула Пуассона:
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},

где:

• \lambda = n \cdot q — математическое ожидание числа отказов,
• k — число отказов.

Рассчитаем вероятность для 11б (более 2 отказов, т.е. X > 2)

Дано:
n = 8,
p = 0.6,
q = 1 - 0.6 = 0.4.

Находим \lambda:
\lambda = n \cdot q = 8 \cdot 0.4 = 3.2.

Теперь найдем вероятность P(X \leq 2):
P(X = 0) = \frac{3.2^0 e^{-3.2}}{0!} = e^{-3.2} \approx 0.0408.
P(X = 1) = \frac{3.2^1 e^{-3.2}}{1!} = 3.2 \cdot 0.0408 \approx 0.1306.
P(X = 2) = \frac{3.2^2 e^{-3.2}}{2!} = \frac{10.24 \cdot 0.0408}{2} \approx 0.209.

Сумма:
P(X \leq 2) = 0.0408 + 0.1306 + 0.209 = 0.3804.

Тогда:
P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0.3804 = 0.6196.

Ответы:

• (а) 11а: P(X = 4) \approx 0.196.
• (б) 11б: P(X > 2) \approx 0.6196.