Законы распределения дискретных случайных величин

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Законы распределения дискретных случайных величин

Дано:

• Случайная величина ( X ) принимает три значения: ( x_1, x_2 = 3, x_3 ).
• Вероятности:
  ( P(X = x_2) = 0.4 ),
  ( P(X = x_3) = 0.1 ).
• Математическое ожидание:
  \mathbb{M}[X] = 2.6.
• Начальный момент второго порядка:
  \mathbb{M}[X^2] = 7.2.
• ( x_1 < x_3 ).

Необходимо найти:

Закон распределения случайной величины ( X ), то есть значения ( x_1, x_3 ) и вероятности ( P(X = x_1) ).

Решение:

Обозначим:

• ( P(X = x_1) = p_1 ),
• ( P(X = x_2) = p_2 = 0.4 ),
• ( P(X = x_3) = p_3 = 0.1 ).

Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1: p_1 + p_2 + p_3 = 1.

Подставляя известные значения: p_1 + 0.4 + 0.1 = 1, p_1 = 0.5.

Используем формулу математического ожидания:

\mathbb{M}[X] = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3.

Подставляем известные значения: 2.6 = x_1 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.4 + x_3 \cdot 0.1.

2.6 = 0.5 x_1 + 1.2 + 0.1 x_3.

0.5 x_1 + 0.1 x_3 = 1.4. (уравнение 1)

Используем формулу начального момента второго порядка:

\mathbb{M}[X^2] = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3.

Подставляем известные значения: 7.2 = x_1^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.4 + x_3^2 \cdot 0.1.

7.2 = 0.5 x_1^2 + 3.6 + 0.1 x_3^2.

0.5 x_1^2 + 0.1 x_3^2 = 3.6. (уравнение 2)

Решение системы уравнений:

Выразим ( x_1 ) через ( x_3 ) из уравнения (1):

x_1 = \frac{1.4 - 0.1 x_3}{0.5} = 2.8 - 0.2 x_3.

Подставим это в уравнение (2):

0.5 (2.8 - 0.2 x_3)^2 + 0.1 x_3^2 = 3.6.

Раскрываем скобки: 0.5 (7.84 - 1.12 x_3 + 0.04 x_3^2) + 0.1 x_3^2 = 3.6.

3.92 - 0.56 x_3 + 0.02 x_3^2 + 0.1 x_3^2 = 3.6.

0.12 x_3^2 - 0.56 x_3 + 3.92 = 3.6.

0.12 x_3^2 - 0.56 x_3 + 0.32 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

x_3 = \frac{0.56 \pm \sqrt{(-0.56)^2 - 4 \cdot 0.12 \cdot 0.32}}{2 \cdot 0.12}.

x_3 = \frac{0.56 \pm \sqrt{0.3136 - 0.1536}}{0.24} = \frac{0.56 \pm \sqrt{0.16}}{0.24}.

x_3 = \frac{0.56 \pm 0.4}{0.24}.

Получаем два корня:

x_3 = \frac{0.56 + 0.4}{0.24} = \frac{0.96}{0.24} = 4.

x_3 = \frac{0.56 - 0.4}{0.24} = \frac{0.16}{0.24} \approx 0.67.

Так как по условию ( x_1 < x_3 ) и ( x_2 = 3 ), выбираем ( x_3 = 4 ).

Подставляем в выражение для ( x_1 ):

x_1 = 2.8 - 0.2 \cdot 4 = 2.

Ответ:

Закон распределения случайной величины ( X ):

Таким образом, случайная величина ( X ) принимает значения ( 2,3,4 ) с вероятностями ( 0.5, 0.4, 0.1 ) соответственно.