Закон распределения случайной величины (биномиальное распределение)

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Закон распределения случайной величины (биномиальное распределение)

Задача: Стрелок делает 3 выстрела, вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.6. Требуется составить закон распределения числа попаданий.

Обозначим случайную величину X — число попаданий из 3 выстрелов.

Поскольку каждый выстрел — это независимое испытание с двумя исходами (попадание или промах), и вероятность попадания постоянна, то X имеет биномиальное распределение с параметрами n=3 и p=0.6.

Вероятность того, что будет ровно k попаданий (где k=0,1,2,3) вычисляется по формуле биномиального распределения:

 P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = \binom{3}{k} (0.6)^k (0.4)^{3-k} 

Рассчитаем вероятности для каждого k:

• Для k=0:  P(X=0) = \binom{3}{0} (0.6)^0 (0.4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064 

• Для k=1:  P(X=1) = \binom{3}{1} (0.6)^1 (0.4)^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 0.288 

• Для k=2:  P(X=2) = \binom{3}{2} (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 0.432 

• Для k=3:  P(X=3) = \binom{3}{3} (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216 

Проверим сумму вероятностей:

 0.064 + 0.288 + 0.432 + 0.216 = 1.0 

Таким образом, закон распределения числа попаданий X:

Ответ: закон распределения случайной величины X задан выше.